Net present value (NPV)

Geometrisk serie

Milj ton.

Konsumtionen 1971 var 794. Ökade 5% varje år.

Vi har en gruva som inledningsvis innehåller 249 000. Hur många år kan man konsumera innan gruvan blir tom?

Svar:

Vi måste summera dessa, så vi får.

Totalt uttag de n första åren:

794 + 1.05 * 794 + 1.05² * 794 + ... + 1.05^n-1 = 794 * (1,05ⁿ - 1) / (1,05 - 1)

n-1 eftersom vi inte har någon ökning första året.

794 * (1,05ⁿ - 1) / (1,05 - 1) = 249 000

794 * (1,05ⁿ - 1) / 0,05 = 249 000

15880 (1,05ⁿ - 1) = 249 000

15880 * 1,05ⁿ - 15880 = 249 000

1,05ⁿ = 264 880 / 15880 = 16,68

ln(1,05ⁿ) = ln 16,68

Kan skrivas om som:

n ln 1,05 = ln 16,68

Vi kan då dela med ln 1,05 på båda sidorna:

n = ln 16,68 / ln 1,05 = 57,68

Svar: Gruvan räcker i 57 år. Alltså 1971 + 57, dvs fram till och med år 2027.

Vilken har störst värde?

i) 13 000 om 10 år

ii) 1000 varje år i 10 år. Första betalningen idag

Ränta 6%

Svar:

13 000 om 10 år ger:

NPV (net present value) = 13 000 * 1,06^-10

NPV = 7259,13

1000 varje år i 10 år:

NPV = 1000 + 1000 * 1,06^-1 + 1000 * 1,06^-2 + ... + 1000 * 1,06^-9 

NPV = 1000 * (1,06^-10 - 1) / (1,06^-1 - 1)

NPV = 7801,69

Det som står i uppgiften att vi under 10 år får 1000 kr varje år:

1 jan    2010    1000

Vi investerar 50 000 kr nu, och får de kommande två åren 30 000 kr varje år. Vad är intern räntan / internal rate of return (IRR)?

Svar:

Internränta syftar på just den räntan där NPV = 0.

NPV = -50 000 + 30 000 * (1+r)^-1 + 30 000 * (1tr)^-2 

Kan stryka nollor och döpa om 1+r till x:

-5 + 3x^-1 + 3x^-2 = 0

-5x² + 3x + 3 = 0

5x² - 3x - 3 = 0

x² - 0,6x - 0,6 = 0

Vi använder PQ-formeln (x2 + px + q = 0 kan omvandlas till x = -p/2 +/- roten ur((p/2)² - q)

x = 0,3 +/- roten ur(0,09 + 0,6)

x = 0,3 +/- 0,8307

x = 1,1307

r = 0,1307

Svar: Räntan blir 13,07%

Vad är nuvärdet av att vi sätter in 1500 kr i slutet av varje år med en ränta av 8% i år i evighet.

Om vi hade haft en begränsad period av n år skulle vi få:

NPV = 1500 * 1,08^-1 + 1500 * 1,08^-2 + ... + 1500 * 1,08^-n 

dvs

NPV = 1500 * 1,08-1 * ((1,08^-1)ⁿ - 1) / (1,08^-1 -1)

Men eftersom vi inte har en begränsning utan n -> oändlighet, så får vi:

NPV = 1500 * 1,08-1 * 1 / (1,08^-1 -1)

Svaret blir NPV = 18750

Innebär att det är lika bra att få 18750 kr idag som att få 1500 kr med ränta varje år i evighet.

(1) NPV(r) = a0 + a/(1+r) + a/(1+r)² + a/(1+r)³ + ... + a/(1+r)ⁿ 

Liknar ett obligationsköp. Köper för a och får sen a/(1+r) varje år

a0 + a/(1+r) * 1/(1-(1+r)^-1) = 0

a0 + a/((1+r)(1-(1+r)^-1)) = 0

a0 + a/((1+r)-1) = 0

a/r = -a0

a = -a0 * r

r = - a / a0

Vi investerar 100 000, och i slutet av varje år i 20 år får vi 10 000. Vad är internräntan?

IRR: NPV(r) = 0

Bygger upp en geometrisk serie för 20 år, vilket ger oss NPV. Den ekvationen ska sen vara lika med 0.

Vi kallar (1+r)^-1 för s, delar 100 000 med 10 000, flyttar detta till andra sidan och får:

s (s²⁰ - 1) / (s - 1) = 10

Bör sen garantera att man bara får en lösning.

c)

f(x) = 2 + 3/x

Vad är lutningen i tangent vid punkten 3,3? Samma som vad är derivatan vid punkten 3,3 (när x = 3)?

f(x) = 2 + 3/x

Skriver om till:
f(x) = 2 + 3x^-1

Deriverar
f'(x) = -3x^-2

Placerar sen in x = 3

f'(x) = -3 * 3^-2

f'(x) = -3/3²

f'(x) = -1/3

d/dr (4 pi r²)

Dvs, derivera funktionen med avseende på r. Svaret blir:

8 pi r

d/dy (A yb * 1) = A(b + 1) yb

d/dA A^-2.5 = -2,5 A^-3,5 

c)

Derivera:

f(x) = (x⁵ + 1/x)(x⁵ + 1)

Alltid bra att omvandla 1/x till x^-1 eftersom det är lättare att derivera

f(x) = (x⁵ + x^-1)(x⁵ + 1)

f'(x) = (x⁵ + x^-1) 5x⁴ + (5x⁴ + -x^-2)(x⁵ + 1) 

Kan förenkla genom att bryta ut den lägsta exponenten:

f'(x) = x^-2 (x⁷ + x) 5x⁴ + 5x^-2 (5x⁶ - 1)(x⁵ + 1)

f'(x) = x^-2 ((x⁷ + x) 5x⁴ + (5x⁶ - 1)(x⁵ + 1))

y = x^-1(x² + 1) roten ur(x)

Förenklas som:
y = x^-1(x² + 1) x^0.5 

y = x^-0.5(x² + 1)

y = x^1.5+ x^-0.5 

Sen deriverar vi:

y' = x^-0.5 2x + -0.5x^-1.5 (x² + 1)

Efter lite förenklingar får vi:

y' = 1.5x^0,15 - 0,5x^-1.5

f(x) = 1 / roten ur (x³)

Förenklas:

f(x) = 1 / (x³)^0.5 

f(x) = 1 / x^1.5

f(x) = x-^1.5

Deriveras:
f'(x) = -1,5 x-^2.5

f(x) = (x+1) / (x-1)

Derivera:

f'(x) = ((x-1) - (x+1)) / (x-1)²

Förenkla:

f'(x) = -2 / (x-1)²

Derivera med bokstäver:

f(t) = (at + b) / (ct + d)

Derivatan med avseende på t. Jämför t.ex. med en liknande ekvation med siffror: (5t + 3) / (t + 2)

f'(t) = (ct + d) * a - (at + b) * c / (ct + d)² 

Kan förenklas:
f'(t) = (act + ad - (act + bc)) / (ct + d)² 

Stryker act:

f'(t) = (ad - bc) / (ct + d)²