Exponenter
6250,75 = 6253/4 = (6251/4)3 = 53 = 125 1785,7 = 1785,7/10 = (6251/10)5,7 Decimaltal kan alltid omvandlas till bråk, och bråk kan alltid splittras i två delar. 102 = 100 103 = 1000 10-3 = 0,001 102.9 = ? (Kan gissa på att den är lite mindre än 1000) ca 900 Alt. 102.9 = 1029/10  = (101/10)29  lg 900 = ? ( Vad ska jag upphöja 10 till för att det ska bli 900) ca 2.9 lg 1000 = 3 lg 0.001 = -3 ln 15 = ca 2.5 (utgår ifrån att e = ca 3) ln x = 4 Vad ska jag upphöja e till för att få x? Om vi upphöjer e till talet vi får ut av ln x så bör vi få x. Därför kan vi göra följande: e(ln x) = e4  x = e4  101/n = ? 100 = 1 10-3 = 1/103 (28 - 27) Samma som 27(2-1) Logaritmer Vad är tionde-logaritmen av 1000? Fråga dig: Vad ska jag upphöja tio till? Tio-logaritmen skrivs: log10 alt. lg lg 1000 = 3 eftersom: 103 = 1000 Exempel: lg 1000 000 = 6 lg 1000 = 3 lg 1005 = 3,002 lg 50 = 1,7 lg 0,1 = -1 lg 0,01 = lg 1/100 = -2 lg 1 = 0 Kan inte ta lg mindre eller lika med 0, eftersom resultatet av en exponent Andra logaritmer: log3: Vad ska jag upphöja 3 till för att få talet? log3 9 = 2 log3 81 = 4 log3 0,01 = log3 1/100 = 4,1 log5 125 = 3 Regler för 10-log (gäller även andra logaritmer/baser, så länge de är samma på båda sidorna): lg (xy) = lg x + lg y      ex. lg (17 * 28) = lg 17 + lg 28   ex. lg 5x = lg 5 + lg x lg (x/y) = lg x - lg y   lg xm = m * lg x Exempel på applicering av regler: lg (x2 * y3) = lg x2 + lg y3 = 2 * lg x + 3 * lg y lg 5z8 = lg 5 + 8 * lg z lg x2/y5 = lg x2 - lg y5 = 2lgx - 5lgy lg (100 * 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5 Exempel 2 - ekvation: 1,03x = 2 Logaritmer på båda sidor lg (1,03 x ) = lg 2 Använd logaritmlagen för att omvända exponent-logaritmen x * lg 1,03 = lg 2 Dela med lg 1,03 på båda sidorna x = lg 2 / lg 1,03 x = ca 23,45 e-logaritmen (naturliga logaritmen) e = ca 2,7 Skrivs som log e eller ln. Samma regler som andra logaritmer, med med en fast bas (ca 2,7) e2 = 7 e1 = 2,7 e0 = 1 e-1 = 1/e = 1/2,7 = 0,3 e-2 = 1/e 2  = 1/7 = 0,15 ln 8 = 2,1 ln 0,1 = ln 1/10 = -2,3 Exempel: Sveriges befolkning 1850 var 1 miljon. Ökade med 2%/år under 1850-1910. Vad var befolkningen 1910? Vi måste multiplicera befolkningsmängden med den procentuella lösningen. 60 år, med 2% per år. 2% = 1,02. Upphöjd i 60 så får man procentuell ökning: 1000000 * 1,0260 = 3,28 Detta kan även skrivas om med e, i den s.k. exponentialfunktionen: Finns nämligen en approx. formel, dvs ungefärlig regel: (1+r) = ca en 1000000 * (1 + 0,02)60 =  3,32 1000000  * (e0,02)60 =  3,32 Svaret blir nästan rätt ;) Exempel 2: 150 = 100 * e0,03t Vi vill lösa ut t. Vi logaritmerar båda leden. Vi använder exponentialregeln (bm)n = b ln 150 = ln 100 + 0,03t 0,03t = ln 150 - ln 100 t = (ln 150 - ln 100) / 0,03 = Exempel 3: 5000 kr med årlig ränta på 9% som kapitaliseras varje kvartal, dvs v arje kvartal får man ut 9%/4 = 2,25% Hur mycket pengar på kontot har man efter 8 år? (Eftersom räntan kapitaliseras kvartalsvis bör vi få mer pengar i slutändan än med en årlig ränta, eftersom vi får mer ränta på ränta) Vi ställer upp en ekvation: S = Slutvärde (Future value) P = Utångsvärdet (Principal values) r = Räntan per kvartal/år t = Antal kvartal/år S = P (1+r)t Vi sätter in värdena (kvartalsränta = 2,25% = 0,0225, 8 år = 32 kvartal) S = 5000 (1+0,0225)32 S = 10190,52 kr Kan jämföras med årlig ränta: S = 5000 (1+0,09)8 S = 9962,81 kr Om vi vill ta reda på hur avkastningen förändras beroende på hur ofta räntan kapitaliseras så kan vi ställa upp en tabell:
Kommer detta kunna fortsätta i evighet? Att om räntan kapitaliseras varje sek kan man få miljoner kr? Nej, ökningen avtar, och likt multiplikatoreffekten når man ett slutresultat. Detta max representeras av e. I detta fall skulle det kallas för kontinuerlig kapitalisering (t = 1). ( Ett tal upphöjt i ett stort tal, upphöjt i samma stora tal är definitionen av e.) Slutvärdet när pengar kapitaliseras diskret, dvs vid specifika tidpunkter. S = P (1+r)t Kontinuerlig kapitalisering: S = P * ert  Exempel. Säg att vi har 5000 kr med 300% ränta i 8 år: Diskret kapitalisering årsvis: S = P (1+r)t S = 5000 (1+3) 8 S = 330 000 000 Kontinuerlig kapitalisering: S = P * ert  S = 5000 * e3 * 8  S = 1.3 * 1014 S = 130 biljoner kr Därför ser vi att ju mindre r, desto mer lika är diskret kapitalisering och kontinuerlig, och ju mer korrekt är det att använda e-omskrivningen som en approximation som vi gjorde tidigare. Derivatan: Lutningen (tangenten) vid en viss punkt i en kurva/linje Skrivs som y' (y-prim) eller dy / dx (derivatan på Q med avseende på P, den beroende variabeln y deriveras med avseende på den oberoende variabeln x) Uträkning y = x^n y' = dy / dx = nx^(n-1) Dvs, för varje tal så multiplicerar man variabeln x med n, och höjer upp den med n-1. Detta ger oss t.ex: y = 100 + 10x - x^2 + 0.5x^3 100 försvinner, 10x blir 10, x^2 blir 2x och 0.5x^3 blir 1.5x^2 y = 10 - 2x + 1.5x^2 Regler: * Konstanter försvinner.    Exempel: y = 100 + 2x ger oss y' = 0 + 2 (100 försvinner) * Variabler utan exponenter förvandlas till konstanter.    Exempel: y = 2x ger oss y' = 2 (x försvinner)           y = -x ger oss y' = -1 * Variabler med exponenter förlorar en exponent, och dess kvantitet multipliceras med den ursprungliga exponenten.    Exempel: y = 2x^3 ger oss y' = 6x^2 (en exponent försvinner och dess kvantitet blir 2 * 3 = 6) Differenskvoten: Detta ger oss lutningen för ett visst intervall. Vi kan även skriva om det: Vi utgår från punkten X0 och säger att y = f(x) När lutningen < 0 är kurvan sluttande När lutningen = 0 är kurvan plan (rak horisontell), en s.k. stationär punkt. Kan finnas flera såna punkter, och de kan ge oss maximum- eller minimum-punkter. När lutningen > 0 är kurvan stigande Exempel: y = f(x) = 3x^2 - 4 y' = 6x0 Exempel på användning av derivata Användning av derivator i mikroekonomi: 1) Elasticiteter E = dQ / dP * P / Q 2) Vid beräkning av marginalintäkt (Marginal Revenue, MR) och marginalkostnad (Marginal Cost, MC): MR = dTR / dQ MC = dTC / dQ 3) Vinstmax Vinst (förkortast till tecknet för stora pi) = TR - TC Vinstmax = dVinst / dQ = 0 4) Beräkning av långsiktigt jämviktspris på en fullkomlig konkurrensmarknad. Sök: min ATC dATC / dQ = 0 1. Priselasticitet: Exempel 1: P = 100 - 0.5Q Vi vet hur vi räknar ut elasticiteten: E = dQ / dP - P / Q Samma som E = Q' - P / Q För att kunna derivera Q med avseende på P måste vi sätta Q ensamt på vänstersidan: P = 100 - 0.5Q 0.5Q = 100 - P Q = 200 - 2P Q' = -2 Eller om vi använder den vanliga skrivningsformen: dQ / dP = -2 Vi har nu: E = -2 * P / Q Om vi antar att frågan är: Vad är E (elasticiteten) när P = 10? Vi sätter in P = 10: P = 100 - 0.5Q 10 = 100 - 0.5Q 0.5Q = 90 Q = 180 Vi får nu: E = -2 * P / Q E = -2 * 10/180 = -2/18 = -1/9 2. Beräkning av marginalintäkt (Marginal Revenue, MR) och marginalkostnad (Marginal Cost, MC): Marginalintäkter: Totala intäkter (TR) = P * Q Antaganden: Efterfrågan: P = 100 - 0.5Q Eftersom vi vet priset kan vi placera in det i TR-ekvationen: TR = (100 - 0.5Q) * Q TR = 100Q - 0.5Q^2 För att ta reda på marginalintäkten (intäktens förändring vid en förändrad kvantitet vid en viss punkt) så deriverar vi TR med avseende på Q: MR = dTR / dQ MR = 100 - 0.5 * 2 * Q^(2-1) MR = 100 - Q Vi vet då att för varje ökad kvantitet så ökar intäkterna med 100 - Q Vi kan även använda derivatan för att exempelvis räkna ut max-punkten, när de totala intäkterna är som störst (när MR = 0), dvs när priset är satt så att man tjänar mesta möjliga i förhållande till efterfrågan. Konstant pris P = 100 för alla försålda enheter TR = P * Q = 100 * Q Marginalkostnader: Totala kostnader (TC) = Fasta kostnader (FC) + Variabla kostnader (VC) Marginalkostnaden (MC) = dTC / dQ Antaganden: FC = 100 VC = 10Q - Q^2 + 0.5Q^3 TC = 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3 För att få fram MC deriverar vi TC utifrån deriveringsregeln och får fram: MC = 10 - 2Q + 1.5Q^2 3. Vinstmax: Vinst skrivs med tecknet för stora pi och ges av ekvationen: Exempel: TC = 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3 (från förra uppgiften) TR = 1000 * Q Vinst = 1000Q - (100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3) Vinst = 1000Q - 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3 Vinst = 990Q - 100 + Q^2 - 0.5Q^3 Vi vill nu ta reda på när vinsten är som högst (vinstmax). Vi börjar ta reda på derivatan: Vi vill sedan ta reda på när vinstmax = 0, dvs när ovanstående ekvation ger oss 0. Vinstmax = dTR / dQ - dTC / dQ Ekvationssystem 2 ekvationer2 obekanta 1) 2x + 5y = -1 2) x + 2y = 9 A. Substitutionsmetoden: Flyttar x ensamt till vänsterledet i ekvation 2): x = 9 - 2y Substituerar in x in i ekvation 1) och löser ut y: 2(9 - 2y) + 5y = -1 18 - 4y + 5y = -1 18 + y = -1 y = -19 Återgår till x-ekvationen och lägger in y-värdet: x = 9 - 2y x = 9 - 2 * -19 x = 9 + 38 x = 47 B. Additionsmetoden(?) Regler * Det är tillåtet att addera eller subtrahera ett godtyckligt uttryck (en siffra eller ett helt uttryck, t.ex. 2x + 3 osv) på båda sidor om likhetstecknet (båda leden). * Det är tillåtet att multiplicera eller dividera (ej med 0) ett godtyckligt uttryck på båda sidor om likhetstecknet (båda leden). Räta linjens ekvation y = kx + m Två konstanter: k = linjens lutning (lutningskoefficienten). Om positiv så har linjen en positiv lutning. m = linjens starthöjd. Värdet på y när x = 0. Ett exempel på en rätlinjig ekvation i nationalekonomi är Konsumtionsfunktionen Om vi vet två punkter (1, 20) och (4, 40) så kan vi sätta upp ett ekvationssystem: 1) 20 = k * 1 + m 2) 40 = k * 4 + m Vi placerar k ensamt på 1) k = 20 - m Placerar in detta i 2) och förenklar 40 = (20 - m) * 4 + m 40 = 80 - 4m + m 40 = 80 - 3m -40 = -3m Vi löser ut m genom att dela båda leden med -3 m = -40/-3 = 40/3 Sätter in detta i 1) k = 20 - 40/3 k = 20/3 Vi vet då att uttrycket för det räta linjen är: y = 20/3 * x + 40/3 Bra att kontrollera med hjälp av diagram/graf. Andragradsekvation PQ-formeln: 1) y^2 + px + q = 0 2) x = -p/2 +/- sqrt((-p/2)^2 - q) Fallet då q = 0: 1) x^2 - px = 0 2) x(x - p) = 0 Svaret på rötterna (lösningarna) är x1 = 0 och x2 = p (så att parentesen x - p blir 0) Exempel: x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x1 = 0 x2 = 5 Exempel: 5x^2 - 30x = 455 Vi vill ha x^2 fritt så vi delar med 5 i alla led: x^2 - 6x = 91 Vi vill göra ha 0 ensamt i högerledet, så vi drar av 91: x^2 - 6x - 91 = 0 Vi kan nu använda PQ-formelns omskrivning: x = (-6/2) +/- sqrt((-6/2)^2 - (-91)) x = 3 +/- sqrt(3^2 + 91) x = 3 +/- sqrt(100) x = 3 +/- 10 x1 = 13 och x2 = -7 Inom nationalekonomi är oftast bara de positiva lösningarna intressanta. Exempel på användning: C = a + b(Y - T) T = tY I = I (exogen) G = G (exogen) X = X (exogen) M = m(Y - T) AD = C + I + G + X - M Jämviktsvillkor C: Konsumtionen I: C brukar Konsumtion. Hushållens totala konsumtionsutgifter. C = a + b (Y - T) a: Konstant som anger konsumtionsfunktionens värde när Y = 0 b: Konstant som anger lutningen på linjen. Den marginella konsumtionsbenägenheten, hur benägna folk är att konsumera mer vid ökad inkomst. C: Konsumtion Y: Aggregerad produktion/inkomst I (pl): Planerade investeringar AD: Aggregerad efterfråga Jämviktsvillkor: Y = AD Substituera in AD i ekvationen och fortsätt substituera in de andra variablerna: Y = C + I + G + X - M Y = a + b(Y - T) + I + G + X - m(Y - tY) Y = a + b(Y - tY) + I + G + X - m(Y - tY) Flyttar över från höger- till vänsterledet Y - b(Y - tY) + m(Y - tY) = a + I + G + X Vi bryter sen ut Y ur de båda parenteserna: Y - Yb(1 - t) + Ym(1 - t) = a + I + G + X Vi kan sen fortsätta bryta ut Y ur hela vänsterledet. Vi använder hakparentes på samma sätt som parentes, men för att rent visuellt separera från de andra parenteserna: Y[1 - b(1 - t) + m(1 - t)] = a + I + G + X För att lösa ut Y kan vi då dela både leden med samma: Y = 1 / (1 - b(1 - t) + m(1 - t)) * (a + I + G + X) Vi väljer att skriva på det här sättet för att få multiplikatorn separerat från det andra innehållet. Multiplikatorn i det här fallet är: 1 / (1 - b(1 - t) + m(1 - t)) Finns flera sätt att skriva samma uttryck: Y * 5 = 4 Y = 1/5 * 4 Y = 4/5 Y = 4 * 1/5 Exempel: Antag att: b = 0.8 (Vi konsumerar 80% av all extra konsumtion) t = 0.3 (30% av BNP går till skatter, dvs vi beskattas på 30% av vår inkomst) m = 0.3 (30% av BNP är importerat) 1 / 1 - 0.8(1 - 0.3) + 0.3(1 - 0.3) 1 - 0.56 + 0.21 1 / 0.65 Hur påverkas Y av att G ökar? Hur stor blir förändringen i Y om G ändras från G1 till G2? Denna förändring brukar kallas för delta (triangel eller litet d) Eftersom det bara är G som ändras så kan vi stryka allt annat än G, eftersom de andra inte förändras (förändringen i dem är 0) Y2 - Y1 = (1/0.65 * G2) - (1/0.65 * G1) Kan skrivas om: Y2 - Y1 = 1/0.65 * (G2 - G1) dY = 1/0.65 * dG Antag att G ökar med 100: dG = 100 dY = 1/0.65 * dG dY = 1/0.65 * 100 dY = 153 |
Matematik
Underordnade sidor (5):DeriveringsreglerSammanfattningTips & tricksÖvningsuppgifterÖvningsuppgifter 2
