Övningsuppgifter


Uppgift 9)

U = a0.5 * b0.5
y = Pa * a + Pb * b

a)
Nyttomaximera

Ställer upp Lagrange:
ℒ = a0.5 * b0.5 + λ(y - Pa * a + Pb * b )
ℒ'a = 0.5a-0.5 * b0.5 - Paλ = 0 (1)
ℒ'b = 0.5a0.5 * b-0.5 - Pbλ = 0 (2)
ℒ'λ = y - Pa * a + Pb * b = 0 (3)

Kombinerar 1 och 2:
(0.5a-0.5 * b0.5) / (0.5a0.5 * b-0.5 ) = (Paλ) / (Pbλ)
Detta är MRS = MRT
Förenklar och löser ut b:
b/a = (Pa) / (Pb)
b = (Pa) / (Pb) * a

Sätter in i (3) och löser ut a:
y - Pa * a + Pb * b = 0
y - Pa * a + Pb * ((Pa) / (Pb) * a) = 0
y - 2Pa * a = 0
a = y/Pa 
Detta ger oss den okompenserade efterfrågan.


b)
Utgiftsminimera

Ställer upp Lagrange:
ℒ = 
Pa * a + Pb * b + 
 λ(U - 
a0.5 * b0.5 )
ℒ'a = 
P
-
 
λ
0.5a-0.5 * b0.5 = 0 (1)
ℒ'b = 
P
-
 
λ
0.5a0.5 * b-0.5
 = 0 (2)
ℒ'λ = 
U - 
a0.5 * b0.5
 = 0 (3)

Kombinerar 1 och 2:
(
 
P
) / (
Pb
) = (
λ
0.5a-0.5 * b0.5 
) / (
λ
0.5a0.5 * b-0.5
 )
Detta är MRS = MRT
Förenklar och löser ut b:
b = (Pa) / (Pb) * a

Sätter in i (3) och löser ut a:
U - 
a0.5 * b0.5
 = 0
U - 
a0.5 * (
(Pa) / (Pb) * a
)0.5
 = 0
U - 
a0.5 * (
(Pa) / (Pb))
0.5
 
 * a
0.5
 = 0
U - 
(
(Pa) / (Pb))
0.5
 
 * a 
= 0
U = 
Pa
0.5
 * Pb
-0.5
 
 * a
a = 
Pb
0.5
 * Pa
-0.5
 
 * U
Pga symmetri (byter alla a mot b):
b = 
Pa
0.5
 * Pb
-0.5
 
 * U

Detta ger oss den kompenserade efterfrågan för a och b.

Vi kan även finna utgiftsfunktionen:
ac = Kompenserade efterfrån av a
E(Pa, Pb, U) = Pa * ac * Pb * bc
Stoppa in kompenserade efterfrågorna:
E = Pa * 
Pb
0.5
 * Pa
-0.5
 
 * U
 + Pb * Pa0.5 * Pb-0.5 * U
E = 2U * sqrt(Pa * Pb)

d)
a(10, 20, 300) = 300/(2*10) = 15
a(10, 20, 400) = 400/(2*10) = 20
Comments