Mikroekonomi‎ > ‎

Räkneövningar


Tenta 090325 - Fråga 1a

Efterfrågans priselasticitet för en vara har uppmätts till absolutvärdet 1,5. Genom en teknologisk förbättring hos producenterna har priset på varan sjunkit med 10 procent. Med hur många procent kommer köparnas utgifter för varan att öka eller minska?

Svar
Elasticiteten är i absoluta termer 1.5, dvs:
E = -1.5

Vi vet att priset sjunker med 10%.
delta P / P = -10

E = % delta Q / % delta P
E = (delta Q / Q) / (delta P / P)

Vi vet att elasticiteten är -1.5 och vad prisförändringen är:
E = (delta Q / Q) / (delta P / P)
-1.5 = (delta Q / Q) / -10
delta Q / Q = 15
Kvantiteten ökar med 15%

Köparnas utgifter = P * Q
Köparnas utgifter = 0.9 * P * 1,15 * Q (Vi har en minskning med 10%, därför multiplicerar vi priset med 0.9)
Köparnas utgifter = 1,035 * P * Q

Ökning med 3.5%

Uppgift b.1)

För en vara gäller efterfrågefunktionen Q = 400 – 25p
i. Vid vilket pris är efterfrågan enhetselastisk?

Lösning 1:
Vi vet att enhetselasticitet innebär att E = -1.
Eftersom vi har en rätlinjig funktion så vet vi att enhetselasticiteten alltid ligger i mitten av kurvan.

För att ta reda på mittenvärdet måste vi ta reda på funktionens omfång:
 P Q
 0 400
 16 0

Alltså är mittpunkten P = 8 och Q = 200, och det är här vi når enhetselasticitet.

Lösning 2:
Alternativt kan vi räkna ut elasticiteten direkt. Vi vet hur den räknas ut:
E = dQ/dP * P/Q
Vi kan räkna ut dQ/dP genom att derivera efterfrågefunktionen:
Q = 400 – 25p
dQ/dP = -25
Vi vill ha E = -1 så vi kan nu sätta in detta i ekvationen:
-1 = -25 * P/Q
Denna kan skrivas om till
Q = 25P

Tillsammans med efterfrågefunktionen har vi nu ett ekvationssystem:
1) Q = 25P
2) Q = 400 - 25p
Vi sätter in 1 i 2 och löser ut ekvationen:
25P = 400 - 25p
50P = 400
P = 8

Enhetselasticitet när P = 8. Kvantitet får vi genom att sätta in detta i efterfrågefunktionen.

Lösning 3:
Man kan även räkna ut med hjälp av MR = MC

Uppgift b.2:

Samma efterfrågefunktion Q = 400 – 25p
ii. Vad är priselasticiteten vid priset 6 kr?

Svar:
Vi sätter in P = 6 i efterfrågan:
Q = 400 – 25p
Q = 400 – 25 * 6
Q = 250

Vi använder information från förra uppgiften och sätter in det nya priset och kvantiteten för att räkna ut elasticiteten:
E = dQ/dP * P/Q
E = -25 * 6/250
E = -0,6

Uppgift b.3:
Samma efterfrågefunktion Q = 400 – 25p
iii. Vid vilket pris har totalintäkten (TR) sitt maximum?

Svar
TR är maximerande då MR är 0. Detta är när P = 8


Fråga 1c)

Visa i ett indifferenskurvediagram hur en konsuments efterfrågan på en vara påverkas av inkomst- och substitutionseffekten vid en prisförändring på varan. (Var noga med beteckningar i figuren!)

Svar:
(Inkomplett)

Substitutionseffekten medför att efterfrågan minskar
Inkomstefekten medför att efterfrågan minskar


Budgeten ökar från BC1 till BC2

Den total effekten är ökningen från Y1 till Y2
Substitutionseffekten utgör ökningen mellan 
Y1 - Ys

Fråga 2a)

Ett företag har en produktionsfunktion given av Q = K2 * L2, där K är antalet enheter kapital och L är antalet enheter arbetskraft.

Uppgift 1

Antag att kapitalet är fast vid K0 = 2 på kort sikt. Bestäm funktionen för totalproduktionskurvan. Rita/skissa den i ett diagram. Uppfyller produktionen lagen om marginellt avtagande avkastning? Förklara!

Svar
Vi vet att:
Q = K2 * L2
Eftersom vi utgår från kort sikt så är K fast vid 2.
Q = 22 * L2
Q = 4L2

Vi vet 
MPL = dQ/dL
MPL = 4
MPL ökar då L ökar, dvs "lagen gäller inte"

Uppgift 2

Bestäm uttrycket för företagets totala kostnader, TC, genomsnittligakostnader, ATC, och marginalkostnader, MC, om kapitalet är fast vid K0 = 2, priset på kapital är r = 10 och lönen w = 4.

Svar:
Vi vet att:
Q = K2 * L2
Eftersom vi utgår från kort sikt så är K fast vid 2.
Q = 22 * L2
Q = 4L2

Vi vet att:
Totala kostnader (TC) = w * L + r * K 
Vi kan nu sätta in uppgifterna från uppgiften:
TC = 4 * L + 10 * 2
TC = 4L + 20

För att kunna sätta in L måste vi lösa ut L från får tidigare ekvation:
Q = 4L2
L2 = Q/4
Roten ur på båda sidorna:
Vi kan och bör skriva om det på följande sätt för att kunna gå vidare (och derivera osv):
L = Q0.5 / 2

Denna omskrivning fungerar eftersom det finns en matematisk lag som säger att:


Vi kan nu sätta in den i TC:
TC = 4L + 20
TC = 2Q0.5 + 20

Vi kan nu räkna ut de genomsnittliga totala kostnaderna (ATC).
ATC = TC / Q
ATC = (2Q0.5 / Q) + (20 / Q)

Vi kan även räkna ut marginalkostnaderna (MC):
MC = dTC / dQ
Derivatan på TC med avseende av Q:
dTC / dQ = Q-0.5
Vi får en negativ exponent eftersom vi vid deriveringen drar av -1 på exponenterna (0.5 - 1 = -0.5)
Detta kan skrivas om som:
dTC / dQ = 1/Q0.5

MC = 1/Q0.5

Fråga 2b)

Antag att ett annat företag producerar 10 000 jeans per år genom att använda sig av 80 enheter kapital (symaskiner) och 60 enheter arbete (heltidsanställda arbetare) per år. Om företaget skulle köpa en extra symaskin skulle det öka sin produktion med 100 jeans per år, skulle företaget i stället anställa ytterligare en person skulle produktionen öka med endast 75 jeans per år. Företagets produktionsfunktion uppfyller lagen om marginellt avtagande avkastning och kostnaden för kapital (en symaskin) är r = 10 000 kronor per år, och att lönen för en arbetare är w = 10 000 kronor per år.

Uppgift 1

Är företaget kostnadseffektivt dvs. producerar det sina 10 000 jeans till lägsta kostnad? Förklara!

Svar
Vi vet att:
MPK = 100
MPL = 75
r = 10 000
w = 10 000
MPL / MPK = w / r

Vi sätter in värden:
75 / 100 = 10 000 / 10 000
Vi ser att detta inte ger jämvikt, och att företaget inte är kostnadseffektivt.

Uppgift 2

Bör företaget förändra sin produktion? I så fall, hur? Förklara!

Svar
MPL måste öka, så vi måste minska arbetskraften (L)
MPK måste minska, så vi måste öka kapitalet (K)


Fråga 3)

Antag att marknadsefterfrågan för en produkt på en fullkomlig konkurrensmarknad ges av följande efterfrågefunktion:
P = 98 – 0.1Q

Antag vidare att det finns 50 identiska vinstmaximerande företag på marknaden där varje företag har en totalkostnad och marginalkostnad som ges av följande samband:
TC = 100 + Q2
MC = 2Q

Uppgift a)

Rita in ett företags utbudskurva för varan i ett diagram. Ta fram marknadsutbudet på basis av företagets utbud och rita in det och marknadsefterfrågan för varan i ett annat diagram. Ta fram uttrycket för marknadsutbudet, beräkna jämviktspriset och jämviktskvantiteten och visa dessa i diagrammet.

Svar:
Efterfrågan:
P = 98 – 0.1Q

Perfekt konkurrensmarknad och 50 identiska företag där var och ett har:
TC = 100 + Q2
MC = 2Q

MC utgör utbudskurvan för företaget. För att rita in detta i diagram kan vi räkna ut ett par värden för MC:
 Q MC
 0 0
 100 200

Marknadens utbudskurvan kan då räknas ut med:
??? Inte Q = MC * 50 ?

Vi kan sedan rita upp dessa i diagram och räkna ut jämviktspris och -kvantitet.

Uppgift b)

Om de 50 företagen anställer arbetskraft, L, på en fullkomlig konkurrensmarknad och varje företag har en produktionsfunktion enligt nedan:
Q = KL0.5

där kapitalet är låst vid nivån K0 = 1 på kort sikt.
Beräkna ett enskilt företags efterfrågefunktion för faktorn arbetskraft?

Svar
Q = KL0.5
K är konstande vid K0 = 1 så vi får:
Q = L0.5

MPL = dQ/dL
MPL = 0.5L0.5
MRPL = MPL * P
MRPL = 0.5L0.5 * 28
MRPL = 14L0.5

Uppgift 3)

Hur många enheter av varan bjuder varje företag ut, hur mycket arbetskraft kommer varje företag på marknaden att efterfråga och vad blir lönen?

Svar:
Vad är q?
Om 50 företag bjuder ut 700 så bjuder ett företag ut 700/50 = 14

Vad är L?
Sambandet mellan produktion och arbete ges av produktionsfunktionen:
q = L0.5
14 = L0.5
L = 142
L = 196

Vad är w? Jämviktslön
MRPL = w
w = MRPL
w = 14 * L-0.5
w = 14 * 196-0.5
w = 1



Fråga 4)

En marknad består av 2 individer, Kålle (K) och Beda (B), med följande betalningsviljor (BV) för en kollektiv nyttighet:

BVK: P = 5 - Q / 10
BVB: P = 10 - Q / 5

Uppgift a)

Visa KÃ¥lle och Bedas individuella betalningsviljor samt marknadens aggregerade betalningsvilja grafiskt och algebraiskt.

Svar:
Algebraiskt:
Vi behöver två punkter från varje ekvation för att kunna rita in dem i grafen. Vi väljer punkterna när linjerna skär nollpunkterna.
BVK när Q = 0:
P = 5 - 0 / 10
P = 5
BVK när P = 0:
0 = 5 - Q / 10
Q = 5

BVB när Q = 0
P = 10 - 0 / 10
P = 10

BVB när P = 0:
0 = 10 - Q / 10
Q = 5

Marknadens efterfråga (vi kallar den BVK+B) får vi genom att lägga samman de båda efterfrågefunktionerna. Eftersom vi vet att de vid P = 0 har Q = 5 respektive 10 så måste den utgå från 15. Vi vet dock inte lutningen (k):
P = 15 - k * Q
För att få fram k använder vi regeln:
k = delta P / delta Q
k = (0 - 15) / (50 - 0) = -0,3
P = 15 - 0,3Q

Vi kan sedan räkna ut två punkter på samma sätt som tidigare...

Grafiskt:
Vi ritar in punkterna från BVK, BVB och BVK+B i ett utbuds och efterfråga-diagram (P lodrät och Q vågrätt)

Uppgift b)

Hur mycket vill Kålle respektive Beda som mest betala för 20 enheter?

Svar:
K: P = 5 - 20/30 = 3
B: P = 10 - 20/5 = 6

Uppgift c)

Ta fram den optimala kvantiteten (Q) för marknaden då funktionen för totala kostnader är TC = 0,35Q2. Visa grafiskt och algebraiskt.

Svar:
Vi vet TC, men vad är Q?

Vi vet att marginalkostnaden (MC) är derivatan av TC med avseende på Q:
MC = dTC / dQ
Vi deriverar TC:
MC = 0,35 * 2Q
MC = 0,7Q

Vi kan sedan räkna ut två punkter för denna och sätta in den i efterfrågan och utbuds-diagrammet från Uppgift a). MC blir en stigande rät linje.

För att ta reda på den optimala (jämvikts-)kvantiteten på marknaden så kollar vi punkten när marknadsefterfrågan (BVK+B) korsar MC, det vill säga:
MC = BVK+B
0,7Q = 15 - 0,3Q
Q = 15

Uppgift d)

Om Kålle och Beda ska betala samma summa i skatt för att den kollektiva varan ska produceras, kommer då båda stödja dess produktion?

Svar:
Jämviktskvantitet är Q = 15.

Vad är Kålles betalningsvilja vid jämviktskvantitet?
P = 5 - 15 / 10
P = 3,5

Vi vill nu ta reda på arean av ytan under Kålles efterfrågelinje, sett grafiskt. Den består av en rektangel (A) och en triangel (B).
A: 15 * 3,5 = 52,5
B: 1,5 * 15 / 2 = 22,5 / 2 = 11,25
A + B = 63,75

Detta är den högsta skatt som Kålle accepterar.

Om både Beda och Kålle skulle betala 63.75 var så skulle vi få in totalt 127,5 kroner.
Vad är de totala kostnaderna (TC) för att producera 15 enheter (jämviktskvantiteten)?
TC = 0,35 * Q^2
TC = 0,35 * 15^2
TC = 78,75
Eftersom vi får in mer skattepengar än kostnaderna så skulle varan produceras i önskad kvantitet.


Uppgift e)

Diskutera kort, med relevanta begrepp från kurslitteraturen, varför kollektiva nyttigheter generellt sett inte alltid kan förväntas tillhandahållas i optimal kvantitet av marknaden.

Svar:
Vi har flera problem med finansieringen av kollektiva varor, kanske främst free-riders, där några 


Tenta 090508

Tenta 090508 - Fråga 1)

Efterfrågan på och utbudet av en vara på en marknad med fullständig konkurrens kan beskrivas med följande ekvationer:
Efterfrågan: P = 20 - Q
Utbud: P = 3Q

Uppgift a)

Beräkna jämviktspris och jämviktskvantitet för varan.Lägg in efterfrågekurvan- och utbudskurvan i ett diagram och visa hur man grafiskt kan finna jämviktspris och jämviktskvantitet.

Svar:
Jämvikten får vi när Efterfrågan = Utbudet, så vi sätter in dessa ekvationer i varandra:
20 - Q = 3Q
4Q = 20
Q = 5
P = 15

Uppgift b)

Beräkna konsument- och producentöverskott och visa var dessa går att finna i figuren

Svar:
Vi vet att:
Arean för rektangel = Basen * Höjden
Arean för triangel = Basen * Höjden / 2

Vi vet att basen är 5 (jämviktskvantitet) och höjden är 15 (upp till jämviktspriset) och 20-15 (mellan jämviktspriset och toppen av efterfrågekurvan):

PÖ = 5 * 15 / 2 = 37,5
KÖ = 5 * (20-15) / 2 = 12,5

Uppgift c)

Antag nu att staten inför ett maxpris på varan vid P = 10. Förklara och visa grafiskt vilka konsekvenser detta får. Beräkna efterfrågeöverskottet.

Svar:
Efterfrågan
10 = 20 - Q
Q = 10

Utbudet
10 = 3Q
Q = 10/3 = 3.33...

Efterfrågeöverskott:
10 - 3.33 = ca 6.66

Uppgift d)

Definiera efterfrågans priselasticitet och förklara vad som avses med begreppet. Beräkna elasticiteten vid P=15.

Svar:
E = dQ / dP * P / Q

Eftersom vi vill derivera Q med avseende på P måste vi skriva om vår ursprungliga efterfrågefunktion med Q ensamt på vänsterledet:
P = 20 - Q
Q = 20 - P

dQ / dP = -1

Vad är Q då P = 15? Vi räknar ut från efterfrågefunktionen:
P = 20 - Q
15 = 20 - Q
Q = 5

P / Q = 15 / 5
E = -1 * 15 / 5
E = -3

Uppgift e)

Vid vilket pris är efterfrågan enhetselastisk (E = -1)?

Svar:
Vi vet den generella elasticiteten:
E = -1 * P / Q
Vi vill ha när E = -1, alltså:
-1 = -1 * P / Q
Q = P

Vi känner också till efterfrågekurvan och omvandlar den till Q:
P = 20 - Q
Q = 20 - P

Vi sätter in efterfrågeekvationen i Q = P (???)
2Q = 20
Q = 10
P = 10



Fråga 2)

Svar a):
MRTS = MPL / MPK = PL / PK (från isokvanten dess lutning)
C = PK * K + PL * L

Svar b):
MC1 = 0,8Q1
MC2 = 4 + 0,2Q2

i)
1) Q1 + Q2 = 10
2) 0,8Q1 = 4 + 0,2Q2

1) in i 2):
0.8 (10 - Q2) = 4 + 0,2Q2
8 - 0,8Q2 = 4 + 0,2Q2
4 = Q2 in i 1) Q1 = 6

Vi ska producera 6 i Q1 och 4 i Q2 för optimal situation

ii)
MC1(ny) = 6,5 + 0,8Q1
MC2 = 4 + 0,2Q2

1) Q1 + Q2 = 10
    Q1 = 10 - Q2
2) 6,5 + 0,8Q1 = 4 + 0,2Q2

1) in i 2):
6,5 + 0,8(10 - Q2) = 4 + 0,2Q2
10,5 = Q2

Vi ska producera 10,5 enheter Q2, ingen Q1


Fråga 3)

2 företag med höga etableringshinder. Identiska kostnader:
TC = 20 000 + Q^2
MC = 2Q

De bildar en kartell och delar upp marknaden mellan sig.

Delmarknad A med efterfrågan:
P = 600 - Q
Delmarknad B med efterfrågan:
P = 600 - 1,5Q

Beräkna utbjuden kvantitet, pris och vinst för företaget som bjuder ut sin vara på marknaden A och för företaget som bjuder ut sin vara på marknaden B.

Svar a):
Vi ser dem i det läget som två enskilda monopol som agerar på två olika marknader.

Delmarknad A:
Efterfrågan och utbuds diagram. Efterfrågan (D) blir en sluttande rät linje som skär P vid 600 och Q vid 600.
Vi vet att MR ligger på hälften av kvantiteten (skär P vid 600 och Q vid 300). Vi kan även räkna ut MR-ekvationen:
TR = P * Q
TR = (600 - Q)Q
TR = 600Q - Q^2
MR = dTR / dQ = 600 - 2Q

MC blir en stigande linje.

Vinstmax:
MC = MR
2Q = 600 - 2Q
4Q = 600
Q = 150

P när Q = 150:
P = 600 - 150
P = 450

Vi vet även hur man räknar ut vinst:
Vinst = TR - TC
TR och TC när Q = 150 och P = 450:
TR = P * Q = 450 * 150 = 67 500
TC = 20 000 + 150^2 = 42 500
Vinst = 67 500 - 42 500 = 25 000

Delmarknad B kan räknas ut på samma sätt:

Svar b)

Vi har två företag med utbudet:
MC = 2Q
Vi kan skriva om den:
P = 2Q
Q = 0,5P
Marknadsefterfrågan (Qm) för två företag (2Q) med denna utbudskurva får vi genom:
Qm = 2Q
Qm = 2 * 0,5P
Qm = P

Delmarknad A efterfråga:
P = 600 - Q
Delmarknad B efterfråga:
P = 600 - 1,5Q

Vi summerar dessa horisontellt för att finna marknadsefterfrågan (Qm). Vi känner till den klassiska rätlinjiga ekvationen:
P = k * Q + m
Vi vet att m = 600
k = delta P / delta Q
k = 0-600 / 1000 - 0
k = -6/10
k = -0,6
P = -0,6Q + 600
Q = -0,6Q + 600
1,6Q = 600
Q = 600 / 1,6
Q = 375
Vi vet att Q = P så:
P = 375

Vinsten
Företagen producerar Q = 375 / 2 = 187.5
Vinst = TR - TC
TR = P * Q
TR = 375 * 187,5 = 70 312.5
TC = 20 000 + 187,5^2 = 55 156.25
Vinst = 70 312.5 - 55 156.25 = 15 156.25

Svar c)
Vinsten lockar till sig nya företag, utbudet ökar, kvantiteten ökar, priset faller, och går mot vinst = 0.

: