Matematik‎ > ‎

Sammanfattning

Innehåll

  1. 1 Andragradsekvationer
  2. 2 Geometrisk serie
  3. 3 Slutvärde/Nuvärde
  4. 4 Logaritmer
    1. 4.1 Tionde-logaritmen
    2. 4.2 Andra logaritmer
    3. 4.3 e-logaritmen (naturliga logaritmen)
    4. 4.4 Logaritm-regler


Andragradsekvationer

PQ-formeln:
  1. x^2 + px + q = 0
  2.
    x = -p/2 +/- sqrt((-p/2)2 - q)

Geometrisk serie

s = a+ak+ak^2 ... +ak^n-1
s = a * k^n-1/k-1

Slutvärde/Nuvärde

Slutvärde (Future Value, FV):
Periodsvis kapitalisering: FV = P(1+r)t 
Kontinuerlig kapitalisering: FV = P * ert 

Nuvärde (Present Value, P):
Periodsvis kapitalisering: P = FV(1+r)-t 
Kontinuerlig kapitalisering: P = FV * e-rt 


Exempel:
Om vi om 10 år får 350 000. Vad är dessa pengar värda idag om vi har en ränta på 8% och räntan betalas ut:
i) Årligen
ii) Kontinuerligt

Svar:
i) Nuvärde = 350 000 * 1,08-10 = 162 118
ii) Nuvärde = 350 000 * e-0,08 * 10 = 157 265

Logaritmer

Svarar på frågan: Vad ska jag upphöja ett visst tal till för att få fram ett annat tal?

Tionde-logaritmen

Vad ska jag upphöja tio till för att få fram talet?

Definition: log10 eller lg

Fråga:
Vad blir lg 1000?
Vad ska jag upphöja tio till för att det ska bli tusen?

Svar:
lg 1000 = 3
eftersom:
103 = 1000

Fler exempel
lg 1000 000 = 6
lg 1000 = 3
lg 1005 = 3,002
lg 50 = 1,7
lg 1 = 0
lg 0,1 = -1
lg 0,01 = lg 1/100 = -2

Vi kan inte ta lg 
0 eller mindre, eftersom resultatet av både positiva och negativa exponenter aldrig kan vara mindre eller lika med 0.

Andra logaritmer

log3 - 
Vad ska jag upphöja 3 till för att få talet?

Exempel
log3 9 = 2
log3 81 = 4
log3 0,01 = 4,1
log5 125 = 3

e-logaritmen (naturliga logaritmen)

Vad ska jag upphöja e till för att få talet?
e = ca 2,718
Vad ska jag upphöja 2,7 till för att få talet?

Definition: log e eller ln

Samma regler som för andra logaritmer. Är som en vanlig logaritm fast med en fast bas (= ca 2,7)

Exempel:
ln 8 = 2,1 (ungefär)
eftersom
e2,1 = 8
dvs
2,72,1 = 8

ln 0,1 = ln 1/10 = -2,3

Logaritm-regler

  1. lg (xy) = lg x + lg y
  2. lg (x/y) = lg x - lg y 
  3. lg xm = m * lg x

Exempel tillämpningar
lg (100 * 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5
lg (17 * 28) = lg 17 + lg 28
lg 5x = lg 5 + lg x
lg (x2 * y3) = lg x2 + lg y3 = 2 * lg x + 3 * lg y
lg 5z8 = lg 5 + 8 * lg z
lg x2/y5 = lg x2 - lg y5 = 2lgx - 5lgy

Exempel fråga:
Botswanas befolkning var 1.22 miljoner och växer med hastigheten 3.4% varje år. Hur lång tid tar det för det hela att dubblas?

Svar:
P = Befolkning
t = Antal år
P(t) = 1,22 * 1,034t 

När är P(t) = 2,44 (befolkningen dubblad)?
Ekvation:
1,22 * 1,034t = 2,44
1,034t = 2
ln 
1,034t = ln 2
Vi utnyttjar tredje logaritm-regeln för att flytta ned exponenten:
t * ln 1,034 = ln 2
Delar med ln 1,034 på bägge leden:
t = ln 2 / ln 1,034 (knappa in på miniräknare)


Comments