Sammanfattning

Innehåll

1 Andragradsekvationer
2 Geometrisk serie
3 Slutvärde/Nuvärde
4 Logaritmer

Andragradsekvationer

PQ-formeln:
x^2 + px + q = 0

x = -p/2 +/- sqrt((-p/2)² - q)

Geometrisk serie
s = a+ak+ak^2 ... +ak^n-1
s = a * k^n-1/k-1

Slutvärde/Nuvärde

Slutvärde (Future Value, FV):

Periodsvis kapitalisering: FV = P(1+r)^t

Kontinuerlig kapitalisering: FV = P * e^rt

Nuvärde (Present Value, P):

Periodsvis kapitalisering: P = FV(1+r)^-t

Kontinuerlig kapitalisering: P = FV * e^-rt

Exempel:

Om vi om 10 år får 350 000. Vad är dessa pengar värda idag om vi har en ränta på 8% och räntan betalas ut:

i) Årligen

ii) Kontinuerligt

Svar:

i) Nuvärde = 350 000 * 1,08^-10 = 162 118

ii) Nuvärde = 350 000 * e^{-0,08 * 10} = 157 265

Logaritmer

Svarar på frågan: Vad ska jag upphöja ett visst tal till för att få fram ett annat tal?

Tionde-logaritmen

Vad ska jag upphöja tio till för att få fram talet?

Definition: log₁₀ eller lg

Fråga:

Vad blir lg 1000?

Vad ska jag upphöja tio till för att det ska bli tusen?

Svar:
lg 1000 = 3
eftersom:
10³ = 1000

Fler exempel

lg 1000 000 = 6
lg 1000 = 3
lg 1005 = 3,002
lg 50 = 1,7
lg 1 = 0
lg 0,1 = -1
lg 0,01 = lg 1/100 = -2

Vi kan inte ta lg 0 eller mindre, eftersom resultatet av både positiva och negativa exponenter aldrig kan vara mindre eller lika med 0.

Andra logaritmer
log3 - Vad ska jag upphöja 3 till för att få talet?

Exempel
log3 9 = 2
log3 81 = 4
log3 0,01 = 4,1
log5 125 = 3

e-logaritmen (naturliga logaritmen)
Vad ska jag upphöja e till för att få talet?
e = ca 2,718
Vad ska jag upphöja 2,7 till för att få talet?

Definition: log e eller ln

Samma regler som för andra logaritmer. Är som en vanlig logaritm fast med en fast bas (= ca 2,7)

Exempel:
ln 8 = 2,1 (ungefär)
eftersom
e^2,1 = 8
dvs
2,7^2,1 = 8

ln 0,1 = ln 1/10 = -2,3

Logaritm-regler

lg (xy) = lg x + lg y
lg (x/y) = lg x - lg y
lg x^m = m * lg x

Exempel tillämpningar

lg (100 * 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5
lg (17 * 28) = lg 17 + lg 28
lg 5x = lg 5 + lg x

lg (x² * y³) = lg x² + lg y³ = 2 * lg x + 3 * lg y

lg 5z⁸ = lg 5 + 8 * lg z
lg x²/y⁵ = lg x² - lg y⁵ = 2lgx - 5lgy

Exempel fråga:
Botswanas befolkning var 1.22 miljoner och växer med hastigheten 3.4% varje år. Hur lång tid tar det för det hela att dubblas?

Svar:
P = Befolkning
t = Antal år
P(t) = 1,22 * 1,034^t

När är P(t) = 2,44 (befolkningen dubblad)?
Ekvation:
1,22 * 1,034^t = 2,44
1,034^t = 2
ln 1,034^t = ln 2
Vi utnyttjar tredje logaritm-regeln för att flytta ned exponenten:
t * ln 1,034 = ln 2
Delar med ln 1,034 på bägge leden:
t = ln 2 / ln 1,034 (knappa in på miniräknare)