Andragradsekvationer
PQ-formeln:
-
-
x = -p/2 +/- sqrt((-p/2)2 - q)
Geometrisk series = a+ak+ak^2 ... +ak^n-1 s = a * k^n-1/k-1
Slutvärde/Nuvärde
Slutvärde (Future Value, FV):
Periodsvis kapitalisering: FV = P(1+r)t
Kontinuerlig kapitalisering: FV = P * ert
Nuvärde (Present Value, P):
Periodsvis kapitalisering: P = FV(1+r)-t
Kontinuerlig kapitalisering: P = FV * e-rt
Exempel:
Om vi om 10 år får 350 000. Vad är dessa pengar värda idag om vi har en ränta på 8% och räntan betalas ut:
i) Årligen
ii) Kontinuerligt
Svar:
i) Nuvärde = 350 000 * 1,08-10 = 162 118
ii) Nuvärde = 350 000 * e-0,08 * 10 = 157 265
Logaritmer
Svarar på frågan: Vad ska jag upphöja ett visst tal till för att få fram ett annat tal?
Tionde-logaritmen
Vad ska jag upphöja tio till för att få fram talet?
Definition: log10 eller lg
Vad ska jag upphöja tio till för att det ska bli tusen?
Svar:
lg 1000 = 3
eftersom:
Fler exempel
lg 1000 000 = 6
lg 1000 = 3
lg 1005 = 3,002
lg 50 = 1,7
lg 0,1 = -1
lg 0,01 = lg 1/100 = -2
Vi kan inte ta lg
0 eller mindre, eftersom resultatet av både positiva och negativa exponenter aldrig kan vara mindre eller lika med 0.
log3 -
Vad ska jag upphöja 3 till för att få talet?
Exempel
log3 9 = 2
log3 81 = 4
log3 0,01 = 4,1
log5 125 = 3
e-logaritmen (naturliga logaritmen)
Vad ska jag upphöja e till för att få talet?
e = ca 2,718
Vad ska jag upphöja 2,7 till för att få talet?
Definition: log e eller ln
Samma regler som för andra logaritmer. Är som en vanlig logaritm fast med en fast bas (= ca 2,7)
Exempel:
ln 8 = 2,1 (ungefär)
eftersom
e2,1 = 8
dvs
2,72,1 = 8
Logaritm-regler
- lg (xy) = lg x + lg y
- lg (x/y) = lg x - lg y
- lg xm = m * lg x
Exempel tillämpningar
lg (100 * 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5
lg (17 * 28) = lg 17 + lg 28
lg 5x = lg 5 + lg x
lg (x2 * y3) = lg x2 + lg y3 = 2 * lg x + 3 * lg y
lg 5z8 = lg 5 + 8 * lg z
lg x2/y5 = lg x2 - lg y5 = 2lgx - 5lgy
Exempel fråga:
Botswanas befolkning var 1.22 miljoner och växer med hastigheten 3.4% varje år. Hur lång tid tar det för det hela att dubblas?
Svar:
P = Befolkning
t = Antal år
P(t) = 1,22 * 1,034t
När är P(t) = 2,44 (befolkningen dubblad)?
Ekvation:
1,22 * 1,034t = 2,44
1,034t = 2
Vi utnyttjar tredje logaritm-regeln för att flytta ned exponenten:
t * ln 1,034 = ln 2
Delar med ln 1,034 på bägge leden:
t = ln 2 / ln 1,034 (knappa in på miniräknare)
|
|