Matematik‎ > ‎

Övningsuppgifter 2

Internal rate of return (IRR)
Net present value (NPV)

10.4.6:
Geometrisk serie
Milj ton.
Konsumtionen 1971 var 794. Ökade 5% varje år.
Vi har en gruva som inledningsvis innehåller 249 000. Hur många år kan man konsumera innan gruvan blir tom?

Svar:
Vi måste summera dessa, så vi får.
Totalt uttag de n första åren:
794 + 1.05 * 794 + 1.052 * 794 + ... + 1.05n-1 = 794 * (1,05n - 1) / (1,05 - 1)
n-1 eftersom vi inte har någon ökning första året.

794 * (1,05n - 1) / (1,05 - 1) = 249 000
794 * (1,05n - 1) / 0,05 = 249 000
15880 (1,05n - 1) = 249 000
15880 * 1,05n - 15880 = 249 000
1,05n = 264 880 / 15880 = 16,68
ln(1,05n) = ln 16,68
Kan skrivas om som:
n ln 1,05 = ln 16,68
Vi kan då dela med ln 1,05 på båda sidorna:
n = ln 16,68 / ln 1,05 = 57,68

Svar: Gruvan räcker i 57 år. Alltså 1971 + 57, dvs fram till och med år 2027.

10.5.3.
Vilken har störst värde?
i) 13 000 om 10 år
ii) 1000 varje år i 10 år. Första betalningen idag
Ränta 6%

Svar:
13 000 om 10 år ger:
NPV (net present value) = 13 000 * 1,06-10
NPV = 7259,13

1000 varje år i 10 år:
NPV = 1000 + 1000 * 1,06-1 + 1000 * 1,06-2 + ... + 1000 * 1,06-9 
NPV = 1000 * (1,06-10 - 1) / (1,06-1 - 1)
NPV = 7801,69

Det som står i uppgiften att vi under 10 år får 1000 kr varje år:
1 jan    2010    1000
2 jan    2011    1000
osv...
1 jan    2019    1000


10.7.1.
Vi investerar 50 000 kr nu, och får de kommande två åren 30 000 kr varje år. Vad är intern räntan / internal rate of return (IRR)?

Svar:
Internränta syftar på just den räntan där NPV = 0.
NPV = -50 000 + 30 000 * (1+r)-1 + 30 000 * (1tr)-2 
Kan stryka nollor och döpa om 1+r till x:
-5 + 3x-1 + 3x-2 = 0
-5x2 + 3x + 3 = 0
5x2 - 3x - 3 = 0
x2 - 0,6x - 0,6 = 0
Vi använder PQ-formeln (x2 + px + q = 0 kan omvandlas till x = -p/2 +/- roten ur((p/2)2 - q)
x = 0,3 +/- roten ur(0,09 + 0,6)
x = 0,3 +/- 0,8307
x = 1,1307
r = 0,1307

Svar: Räntan blir 13,07%

10.5.5
Vad är nuvärdet av att vi sätter in 1500 kr i slutet av varje år med en ränta av 8% i år i evighet.

Svar:
Om vi hade haft en begränsad period av n år skulle vi få:
NPV = 1500 * 1,08-1 + 1500 * 1,08-2 + ... + 1500 * 1,08-n 
dvs
NPV = 1500 * 1,08-1 * ((1,08-1)n - 1) / (1,08-1 -1)

Men eftersom vi inte har en begränsning utan n -> oändlighet, så får vi:
NPV = 1500 * 1,08-1 * 1 / (1,08-1 -1)

Svaret blir NPV = 18750
Innebär att det är lika bra att få 18750 kr idag som att få 1500 kr med ränta varje år i evighet.

10.7.2
(1) NPV(r) = a0 + a/(1+r) + a/(1+r)2 + a/(1+r)3 + ... + a/(1+r)n 
Liknar ett obligationsköp. Köper för a och får sen a/(1+r) varje år

a0 + a/(1+r) * 1/(1-(1+r)-1) = 0
a0 + a/((1+r)(1-(1+r)-1)) = 0
a0 + a/((1+r)-1) = 0
a0 + a/r = 0
a/r = -a0
a = -a0 * r
r = - a / a0


10.7.5.
Vi investerar 100 000, och i slutet av varje år i 20 år får vi 10 000. Vad är internräntan?

Svar:
IRR: NPV(r) = 0

Bygger upp en geometrisk serie för 20 år, vilket ger oss NPV. Den ekvationen ska sen vara lika med 0.
Vi kallar (1+r)-1 för s, delar 100 000 med 10 000, flyttar detta till andra sidan och får:
s (s20 - 1) / (s - 1) = 10

Bör sen garantera att man bara får en lösning.


6.2.5
c)
f(x) = 2 + 3/x
Vad är lutningen i tangent vid punkten 3,3? Samma som vad är derivatan vid punkten 3,3 (när x = 3)?

Svar:
f(x) = 2 + 3/x
Skriver om till:
f(x) = 2 + 3x-1
Deriverar
f'(x) = -3x-2
Placerar sen in x = 3
f'(x) = -3 * 3-2
f'(x) = -3/32
f'(x) = -1/3


6.6.4:
a)
d/dr (4 pi r2)
Dvs, derivera funktionen med avseende på r. Svaret blir:
8 pi r

b)
d/dy (A yb * 1) = A(b + 1) yb

c)
d/dA A-2.5 = -2,5 A-3,5 


6.7.2:
c)
Derivera:
f(x) = (x5 + 1/x)(x5 + 1)
Alltid bra att omvandla 1/x till x-1 eftersom det är lättare att derivera
f(x) = (x5 + x-1)(x5 + 1)
f'(x) = (x5 + x-1) 5x4 + (5x4 + -x-2)(x5 + 1) 
Kan förenkla genom att bryta ut den lägsta exponenten:
f'(x) = x-2 (x7 + x) 5x4 + 5x-2 (5x6 - 1)(x5 + 1)
f'(x) = x-2 ((x7 + x) 5x4 + (5x6 - 1)(x5 + 1))

6.7.3
b)
y = x-1(x2 + 1) roten ur(x)
Förenklas som:
y = x-1(x2 + 1) x0.5 
y = x-0.5(x2 + 1)
y = x1.5+ x-0.5 
Sen deriverar vi:
y' = x-0.5 2x + -0.5x-1.5 (x2 + 1)
Efter lite förenklingar får vi:
y' = 1.5x0,15 - 0,5x-1.5

c)
f(x) = 1 / roten ur (x3)
Förenklas:
f(x) = 1 / (x3)0.5 
f(x) = 1 / x1.5
f(x) = x-1.5
Deriveras:
f'(x) = -1,5 x-2.5

d)
f(x) = (x+1) / (x-1)
Derivera:
f'(x) = ((x-1) - (x+1)) / (x-1)2
Förenkla:
f'(x) = -2 / (x-1)2


6.7.9:
Derivera med bokstäver:
f(t) = (at + b) / (ct + d)
Derivatan med avseende på t. Jämför t.ex. med en liknande ekvation med siffror: (5t + 3) / (t + 2)
f'(t) = (ct + d) * a - (at + b) * c / (ct + d)2 
Kan förenklas:
f'(t) = (act + ad - (act + bc)) / (ct + d)2 
Stryker act:
f'(t) = (ad - bc) / (ct + d)2 









Comments