Deriveringsregler

Matematik‎ > ‎

Huvudregel:

y = xⁿ
y' = nx^n-1

Riktlinjer:

Variabeln med exponent multipliceras med sin exponent och får sen -1 på sin exponent

y = x⁷ ger oss y' = 7x^(7-1) ger oss y' = 7x⁶
y = 2x³ ger oss y' = 2 * 3x^(3-1) ger oss y' = 6x²
y = x^0.5 ger oss y' = 0.5x^-0.5

Variabeln utan exponent antas ha exponenten 1, vilken förvandlas till 0. Detta ger alltid svaret 1, vilket gör att variabeln försvinner.

y = 23x ger oss y' = 23 * 1 ger oss y' = 23
y = -x ger oss y' = -1

Konstanter multiplicerade med variabeln lämnas orörda

y = 20x ger oss y' = 20
y = 10 * 4x² ger oss y' = 10 * 4 * 2x ger oss y' = 80x

Lösa konstanter försvinner

y = 100 ger oss y' = 0
y = 100 * 3 + 40 ger oss y' = 0
y = 32 + x - 120 * 240 / 20 ger oss y' = 1

Roten ur bör omvandlas till exponenter

y = sqrt(x) ger oss y = x^0.5 ger oss y' = 0.5x^-0.5

Naturliga logaritmen av variabeln förvandlas till expontenten delat på variabeln

y = ln(x) ger oss y' = 1/x
y = ln(x⁴) ger oss y' = 4/x

I flervariabelfunktioner så förvandlas övriga variabler till konstanter:

y = z * x + p * k ger oss ∂y/∂x = z (z är kvar eftersom det är en konstant multiplicerad med x, x förvandlas till 1 och övriga konstanter försvinner)

Terminologi:

Derivatan av y med avseende på x kan skrivas på flera sätt:

För envariabelfunktioner så kan vi skriva på ett av följande sätt:
y'
y'(x)
dy/dx
Tecknet y' uttalas "
y-prim".

För flervariabelfunktioner så skriver vi istället:
∂y/
∂x
Tecknet ∂ kallas partiell derivata och betyder att vi deriverar (y) med avseende på en specifik variabel (x) och betraktar andra variabler som konstanter.

Exempel:
y = 100 + 10x - x² + 0.5x³
Blir till:
y' = 10 - 2x + 1.5x²
(100 försvinner, 10x blir 10, x² blir 2x och 0.5x³ blir 1.5x²)