Matematik‎ > ‎

Deriveringsregler

Huvudregel:
y = xn
y' = nxn-1

Riktlinjer:
  • Variabeln med exponent multipliceras med sin exponent och får sen -1 på sin exponent
    • y = x7 ger oss y' = 7x(7-1) ger oss y' = 7x6 
    • y = 2x3 ger oss y' = 2 * 3x(3-1) ger oss y' = 6x2
    • y = x0.5 ger oss y' = 0.5x-0.5 
  • Variabeln utan exponent antas ha exponenten 1, vilken förvandlas till 0. Detta ger alltid svaret 1, vilket gör att variabeln försvinner.
    • y = 23x ger oss y' = 23 * 1 ger oss y' = 23
    • y = -x ger oss y' = -1
  • Konstanter multiplicerade med variabeln lämnas orörda
    • y = 20x ger oss y' = 20
    • y = 10 * 4x2 ger oss y' = 10 * 4 * 2x ger oss y' = 80x
  • Lösa konstanter försvinner
    • y = 100 ger oss y' = 0
    • y = 100 * 3 + 40 ger oss y' = 0
    • y = 32 + x - 120 * 240 / 20 ger oss y' = 1
  • Roten ur bör omvandlas till exponenter
    • y = sqrt(x) ger oss y = x0.5 ger oss y' = 0.5x-0.5 
  • Naturliga logaritmen av variabeln förvandlas till expontenten delat på variabeln
    • y = ln(x) ger oss y' = 1/x
    • y = ln(x4) ger oss y' = 4/x
  • I flervariabelfunktioner så förvandlas övriga variabler till konstanter:
    • y = z * x + p * k ger oss ∂y/∂x = z (z är kvar eftersom det är en konstant multiplicerad med x, x förvandlas till 1 och övriga konstanter försvinner)

Terminologi:
Derivatan av y med avseende på x kan skrivas på flera sätt:

För envariabelfunktioner så kan vi skriva på ett av följande sätt:
y'
y'(x)
dy/dx
Tecknet y' uttalas "
y-prim".

För flervariabelfunktioner så skriver vi istället:
∂y/
∂x
Tecknet 
∂ kallas partiell derivata och betyder att vi deriverar (y) med avseende på en specifik variabel (x) och betraktar andra variabler som konstanter.

Exempel:
y = 100 + 10x - x2 + 0.5x3
Blir till:
y' = 10 - 2x + 1.5x2
(
100 försvinner, 10x blir 10, x2 blir 2x och 0.5x3 blir 1.5x2)


Comments