Matematik


Exponenter
  • Positiva heltal
  • Negativa tal: b-n = 1 / bn 
  • Inom parentes
  • Halva


6250,75 = 6253/4 = (6251/4)3 = 53 = 125

1785,7 = 1785,7/10 = (6251/10)5,7 

Decimaltal kan alltid omvandlas till bråk, och bråk kan alltid splittras i två delar.

102 = 100
103 = 1000
10-3 = 0,001
102.9 = ? (Kan gissa på att den är lite mindre än 1000) ca 900
Alt. 
102.9 = 
1029/10
 = (101/10)29
 
lg 900 = ? (
Vad ska jag upphöja 10 till för att det ska bli 900) ca 2.9
lg 1000 = 3
lg 0.001 = -3
ln 15 = ca 2.5 (utgår ifrån att e = ca 3)

ln x = 4
Vad ska jag upphöja e till för att få x? Om vi upphöjer e till talet vi får ut av ln x så bör vi få x. Därför kan vi göra följande:
e(ln x) = e4
 
x = e4
 


101/n = ?
100 = 1
10-3 = 1/103 

(28 - 27)
Samma som
27(2-1)

Logaritmer

Vad är tionde-logaritmen av 1000? Fråga dig: 
Vad ska jag upphöja tio till?
Tio-logaritmen skrivs: log10 alt. lg
lg 1000 = 3
eftersom:
103 = 1000

Exempel:
lg 1000 000 = 6
lg 1000 = 3
lg 1005 = 3,002
lg 50 = 1,7
lg 0,1 = -1
lg 0,01 = lg 1/100 = -2
lg 1 = 0
Kan inte ta lg mindre eller lika med 0, eftersom resultatet av en exponent

Andra logaritmer:
log3: Vad ska jag upphöja 3 till för att få talet?
log3 9 = 2
log3 81 = 4
log3 0,01 = log3 1/100 = 4,1
log5 125 = 3

Regler för 10-log (gäller även andra logaritmer/baser, så länge de är samma på båda sidorna):
lg (xy) = lg x + lg y        ex. lg (17 * 28) = lg 17 + lg 28    ex. lg 5x = lg 5 + lg x
lg (x/y) = lg x - lg y    
lg xm = m * lg x


Exempel på applicering av regler:
lg (x2 * y3) = lg x2 + lg y3 = 2 * lg x + 3 * lg y
lg 5z8 = lg 5 + 8 * lg z
lg x2/y5 = lg x2 - lg y5 = 2lgx - 5lgy
lg (100 * 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5

Exempel 2 - ekvation:
1,03x = 2
Logaritmer på båda sidor
lg (1,03
x
) = lg 2
Använd logaritmlagen för att omvända exponent-logaritmen
x * lg 1,03 = lg 2
Dela med lg 1,03 på båda sidorna
x = lg 2 / lg 1,03
x = ca 23,45

e-logaritmen (naturliga logaritmen)
e = ca 2,7
Skrivs som log e eller ln.
Samma regler som andra logaritmer, med med en fast bas (ca 2,7)

e2 = 7
e1 = 2,7
e0 = 1
e-1 = 1/e = 1/2,7 = 0,3
e-2 = 1/e
2
 = 1/7 = 0,15


ln 8 = 2,1
ln 0,1 = ln 1/10 = -2,3


Exempel:
Sveriges befolkning 1850 var 1 miljon. Ökade med 2%/år under 1850-1910.
Vad var befolkningen 1910?

Vi måste multiplicera befolkningsmängden med den procentuella lösningen. 60 år, med 2% per år. 2% = 1,02. Upphöjd i 60 så får man procentuell ökning:
1000000 * 1,0260 = 3,28

Detta kan även skrivas om med e, i den s.k. exponentialfunktionen:
Finns nämligen en approx. formel, dvs ungefärlig regel: 
(1+r) = ca en 
1000000 * (1 + 0,02)60 =
 3,32
1000000
 * (e0,02)60 =
 3,32
Svaret blir nästan rätt ;)

Exempel 2:
150 = 100 * e0,03t
Vi vill lösa ut t.
Vi logaritmerar båda leden. Vi använder exponentialregeln (bm)n = b
ln 150 = ln 100 + 0,03t
0,03t = ln 150 - ln 100
t = (ln 150 - ln 100) / 0,03 = 

Exempel 3:
5000 kr med årlig ränta på 9% som kapitaliseras varje kvartal, dvs v
arje kvartal får man ut 9%/4 = 2,25%
Hur mycket pengar på kontot har man efter 8 år? (Eftersom räntan kapitaliseras kvartalsvis bör vi få mer pengar i slutändan än med en årlig ränta, eftersom vi får mer ränta på ränta)

Vi ställer upp en ekvation:
S = Slutvärde (Future value)
P = Utångsvärdet (Principal values)
r = Räntan per kvartal/år
t = Antal kvartal/år

S = P (1+r)t 
Vi sätter in värdena (kvartalsränta = 2,25% = 0,0225, 8 år = 32 kvartal)
S = 5000 (1+0,0225)32 
S = 10190,52 kr

Kan jämföras med årlig ränta:
S = 5000 (1+0,09)8 
S = 9962,81 kr

Om vi vill ta reda på hur avkastningen förändras beroende på hur ofta räntan kapitaliseras så kan vi ställa upp en tabell:
 Årlig kap 5000 * (1+0,09)8  = 9963
 Kvartalsvis 5000 * (1 + 0,09/4)8*4 = 10191
 Månatlig 5000 * (1 + 0,09/12)8*12 
 Daglig 5000 * (1 + 0,09/365)8*365 
Kommer detta kunna fortsätta i evighet? Att om räntan kapitaliseras varje sek kan man få miljoner kr? Nej, ökningen avtar, och likt multiplikatoreffekten når man ett slutresultat. Detta max representeras av e. I detta fall skulle det kallas för kontinuerlig kapitalisering (t = 1). (
Ett tal upphöjt i ett stort tal, upphöjt i samma stora tal är definitionen av e.)

Slutvärdet när pengar kapitaliseras diskret, dvs vid specifika tidpunkter.
S = P (1+r)t 

Kontinuerlig kapitalisering:
S = P * ert
 

Exempel.
Säg att vi har 5000 kr med 300% ränta i 8 år:
Diskret kapitalisering årsvis:
S = P (1+r)t 
S = 5000 (1+3)
8 
S = 330 000 000

Kontinuerlig kapitalisering:
S = P * ert
 
S = 5000 * e3 * 8
 
S = 1.3 * 1014
S = 130 biljoner kr 

Därför ser vi att ju mindre r, desto mer lika är diskret kapitalisering och kontinuerlig, och ju mer korrekt är det att använda e-omskrivningen som en approximation som vi gjorde tidigare.



Derivatan: Lutningen (tangenten) vid en viss punkt i en kurva/linje

Skrivs som y' (y-prim) eller dy / dx (derivatan på Q med avseende på P, den beroende variabeln y deriveras med avseende på den oberoende variabeln x)

Uträkning
y = x^n
y' = dy / dx = nx^(n-1)
Dvs, för varje tal så multiplicerar man variabeln x med n, och höjer upp den med n-1. Detta ger oss t.ex:
y = 100 + 10x - x^2 + 0.5x^3
100 försvinner, 10x blir 10, x^2 blir 2x och 0.5x^3 blir 1.5x^2
y = 10 - 2x + 1.5x^2

Regler:
* Konstanter försvinner.
    Exempel: y = 100 + 2x ger oss y' = 0 + 2 (100 försvinner)
* Variabler utan exponenter förvandlas till konstanter.
    Exempel: y = 2x ger oss y' = 2 (x försvinner)
                   y = -x ger oss y' = -1
* Variabler med exponenter förlorar en exponent, och dess kvantitet multipliceras med den ursprungliga exponenten.
    Exempel: y = 2x^3 ger oss y' = 6x^2 (en exponent försvinner och dess kvantitet blir 2 * 3 = 6)


Differenskvoten: 
Detta ger oss lutningen för ett visst intervall.

Vi kan även skriva om det:
Vi utgår från punkten X0 och säger att y = f(x)

Vid en derivering utför vi en sån här differensberäkning men låter delta x vara så nära 0 som möjligt. Vi får då ett så litet intervall som möjligt så vi praktiskt taget får lutningen vid en viss punkt.

När lutningen < 0 är kurvan sluttande
När lutningen = 0 är kurvan plan (rak horisontell), en s.k. stationär punkt. Kan finnas flera såna punkter, och de kan ge oss maximum- eller minimum-punkter.
När lutningen > 0 är kurvan stigande

Exempel:
y = f(x) = 3x^2 - 4
y' = 6x0

Exempel på användning av derivata

Användning av derivator i mikroekonomi:
1) Elasticiteter
E = dQ / dP * P / Q

2) Vid beräkning av marginalintäkt (Marginal Revenue, MR) och marginalkostnad (Marginal Cost, MC):
MR = dTR / dQ
MC = dTC / dQ

3) Vinstmax
Vinst (förkortast till tecknet för stora pi) = TR - TC
Vinstmax = dVinst / dQ = 0

4) Beräkning av långsiktigt jämviktspris på en fullkomlig konkurrensmarknad.
Sök: min ATC
dATC / dQ = 0


1. Priselasticitet:
Exempel 1:
P = 100 - 0.5Q

Vi vet hur vi räknar ut elasticiteten:
E = dQ / dP - P / Q
Samma som
E = Q' - P / Q

För att kunna derivera Q med avseende på P måste vi sätta Q ensamt på vänstersidan:
P = 100 - 0.5Q
0.5Q = 100 - P
Q = 200 - 2P
Q' = -2
Eller om vi använder den vanliga skrivningsformen:
dQ / dP = -2
Vi har nu:
E = -2 * P / Q

Om vi antar att frågan är: Vad är E (elasticiteten) när P = 10? Vi sätter in P = 10:
P = 100 - 0.5Q
10 = 100 - 0.5Q
0.5Q = 90
Q = 180

Vi får nu:
E = -2 * P / Q
E = -2 * 10/180 = -2/18 = -1/9


2. Beräkning av marginalintäkt (Marginal Revenue, MR) och marginalkostnad (Marginal Cost, MC):

Marginalintäkter:
Totala intäkter (TR) = P * Q

Antaganden:
Efterfrågan: P = 100 - 0.5Q

Eftersom vi vet priset kan vi placera in det i TR-ekvationen:
TR = (100 - 0.5Q) * Q
TR = 100Q - 0.5Q^2

För att ta reda på marginalintäkten (intäktens förändring vid en förändrad kvantitet vid en viss punkt) så deriverar vi TR med avseende på Q:
MR = dTR / dQ
MR = 100 - 0.5 * 2 * Q^(2-1)
MR = 100 - Q

Vi vet då att för varje ökad kvantitet så ökar intäkterna med 100 - Q

Vi kan även använda derivatan för att exempelvis räkna ut max-punkten, när de totala intäkterna är som störst (när MR = 0), dvs när priset är satt så att man tjänar mesta möjliga i förhållande till efterfrågan.

Konstant pris P = 100 för alla försålda enheter TR = P * Q = 100 * Q

Marginalkostnader:
Totala kostnader (TC) = Fasta kostnader (FC) + Variabla kostnader (VC)
Marginalkostnaden (MC) = dTC / dQ

Antaganden:
FC = 100
VC = 10Q - Q^2 + 0.5Q^3
TC = 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3

För att få fram MC deriverar vi TC utifrån deriveringsregeln och får fram:
MC = 10 - 2Q + 1.5Q^2

3. Vinstmax:
Vinst skrivs med tecknet för stora pi och ges av ekvationen:
Vinst = Totala intäkter - Totala kostnader

Exempel:
TC = 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3 (från förra uppgiften)
TR = 1000 * Q
Vinst = 1000Q - (100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3)
Vinst = 1000Q - 100 + 10Q - Q^2 + 0.5Q^3
Vinst = 990Q - 100 + Q^2 - 0.5Q^3

Vi vill nu ta reda på när vinsten är som högst (vinstmax). Vi börjar ta reda på derivatan:
Vi vill sedan ta reda på när vinstmax = 0, dvs när ovanstående ekvation ger oss 0.

Vinstmax = dTR / dQ - dTC / dQ




Ekvationssystem
2 ekvationer
2 obekanta

1) 2x + 5y = -1
2) x + 2y = 9

A. Substitutionsmetoden:
Flyttar x ensamt till vänsterledet i ekvation 2):
x = 9 - 2y
Substituerar in x in i ekvation 1) och löser ut y:
2(9 - 2y) + 5y = -1
18 - 4y + 5y = -1
18 + y = -1
y = -19
Återgår till x-ekvationen och lägger in y-värdet:
x = 9 - 2y
x = 9 - 2 * -19
x = 9 + 38
x = 47

B. Additionsmetoden(?)

Regler
* Det är tillåtet att addera eller subtrahera ett godtyckligt uttryck (en siffra eller ett helt uttryck, t.ex. 2x + 3 osv) på båda sidor om likhetstecknet (båda leden).
* Det är tillåtet att multiplicera eller dividera (ej med 0) ett godtyckligt uttryck på båda sidor om likhetstecknet (båda leden).


Räta linjens ekvation
y = kx + m

Två konstanter:
k = linjens lutning (lutningskoefficienten). Om positiv så har linjen en positiv lutning.
m = linjens starthöjd. Värdet på y när x = 0.

Ett exempel på en rätlinjig ekvation i nationalekonomi är Konsumtionsfunktionen

Exempel:
Om vi vet två punkter (1, 20) och (4, 40) så kan vi sätta upp ett ekvationssystem:
1) 20 = k * 1 + m
2) 40 = k * 4 + m

Vi placerar k ensamt på 1)
k = 20 - m
Placerar in detta i 2) och förenklar
40 = (20 - m) * 4 + m
40 = 80 - 4m + m
40 = 80 - 3m
-40 = -3m
Vi löser ut m genom att dela båda leden med -3
m = -40/-3 = 40/3
Sätter in detta i 1)
k = 20 - 40/3
k = 20/3

Vi vet då att uttrycket för det räta linjen är:
y = 20/3 * x + 40/3

Bra att kontrollera med hjälp av diagram/graf.


Andragradsekvation
PQ-formeln:
1) y^2 + px + q = 0
2) x = -p/2 +/- sqrt((-p/2)^2 - q)

Fallet då q = 0:
1) x^2 - px = 0
2) x(x - p) = 0
Svaret på rötterna (lösningarna) är x1 = 0 och x2 = p (så att parentesen x - p blir 0)

Exempel:
x^2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x1 = 0
x2 = 5

Exempel:
5x^2 - 30x = 455

Vi vill ha x^2 fritt så vi delar med 5 i alla led:
x^2 - 6x = 91
Vi vill göra ha 0 ensamt i högerledet, så vi drar av 91:
x^2 - 6x - 91 = 0
Vi kan nu använda PQ-formelns omskrivning:
x = (-6/2) +/- sqrt((-6/2)^2 - (-91))
x = 3 +/- sqrt(3^2 + 91)
x = 3 +/- sqrt(100)
x = 3 +/- 10
x1 = 13 och x2 = -7


Inom nationalekonomi är oftast bara de positiva lösningarna intressanta.

Exempel på användning:
C = a + b(Y - T)
T = tY
I = I (exogen)
G = G (exogen)
X = X (exogen)
M = m(Y - T)

AD = C + I + G + X - M

Jämviktsvillkor

C: Konsumtionen
I: 
C brukar Konsumtion. Hushållens totala konsumtionsutgifter.
C = a + b (Y - T)

a: Konstant som anger konsumtionsfunktionens värde när Y = 0
b: Konstant som anger lutningen på linjen. Den marginella konsumtionsbenägenheten, hur benägna folk är att konsumera mer vid ökad inkomst.
C: Konsumtion
Y: Aggregerad produktion/inkomst
I (pl): Planerade investeringar
AD: Aggregerad efterfråga

Jämviktsvillkor:
Y = AD
Substituera in AD i ekvationen och fortsätt substituera in de andra variablerna:
Y = C + I + G + X - M
Y = a + b(Y - T) + I + G + X - m(Y - tY)
Y = a + b(Y - tY) + I + G + X - m(Y - tY)
Flyttar över från höger- till vänsterledet
Y - b(Y - tY) + m(Y - tY) = a + I + G + X
Vi bryter sen ut Y ur de båda parenteserna:
Y - Yb(1 - t) + Ym(1 - t) = a + I + G + X
Vi kan sen fortsätta bryta ut Y ur hela vänsterledet. Vi använder hakparentes på samma sätt som parentes, men för att rent visuellt separera från de andra parenteserna:
Y[1 - b(1 - t) + m(1 - t)] = a + I + G + X
För att lösa ut Y kan vi då dela både leden med samma:
Y = 1 / (1 - b(1 - t) + m(1 - t)) * (a + I + G + X)
Vi väljer att skriva på det här sättet för att få multiplikatorn separerat från det andra innehållet. Multiplikatorn i det här fallet är:
1 / (1 - b(1 - t) + m(1 - t))

Finns flera sätt att skriva samma uttryck:
Y * 5 = 4
Y = 1/5 * 4
Y = 4/5
Y = 4 * 1/5


Exempel:
Antag att:
b = 0.8 (Vi konsumerar 80% av all extra konsumtion)
t = 0.3 (30% av BNP går till skatter, dvs vi beskattas på 30% av vår inkomst)
m = 0.3 (30% av BNP är importerat)

1 / 1 - 0.8(1 - 0.3) + 0.3(1 - 0.3)
1 - 0.56 + 0.21
1 / 0.65

Hur påverkas Y av att G ökar? Hur stor blir förändringen i Y om G ändras från G1 till G2? Denna förändring brukar kallas för delta (triangel eller litet d)
Eftersom det bara är G som ändras så kan vi stryka allt annat än G, eftersom de andra inte förändras (förändringen i dem är 0)
Y2 - Y1 = (1/0.65 * G2) - (1/0.65 * G1)
Kan skrivas om:
Y2 - Y1 = 1/0.65 * (G2 - G1)
dY = 1/0.65 * dG

Antag att G ökar med 100:
dG = 100
dY = 1/0.65 * dG
dY = 1/0.65 * 100
dY = 153