Mikroteori - Övningsuppgifter



Räknestuga 1

Uppgift 1

Nyttofunktionen:
u = A0,3 * B0,7 
Budgetrestriktion:
Y = PAA + PB


a)
Hur mycket A resp B efterfrågas om vi maximerar u givet budgetrestriktionen?
Optimivillkoret står både för nyttomaximum och utgiftsminimum.

Lagrange - vi maximerar nyttofunktionen med budgetrestriktionen som bivillkor:

L = A0,3 * B0,7 + λ(Y - PAA - PBB )

Vi deriverar med avseende på A:
∂L/∂A = 0,3A0,3-1 * B0,7 - λPA = 0 (1)

Vi deriverar med avseende på B:
∂L/∂B = 0,7A0,3 * B0,7-1 - λPB = 0 (2)

Vi deriverar med avseende på lambda:
∂L/∂λ = Y - PAA - PBB = 0 (3)

Skriver om:
λPA = 0,3 * A-0,7 * B0,7
λP= 0,7 * A0,3 * B-0,3

Delar dessa med varandra
λPA / λPB = (0,3A-0,7 * B0,7) / (0,7A0,3 * B-0,3)
Kan stryka lambda, exponenterna blir 1 och kan därför tas bort, och vi kan skriva om 0,3 / 0,7 till 3/7:
PA / PB = 3B / 7A
PA * 3B =  PB * 7A
Vi har nu fått MRS = MRT, dvs lutningen på indifferenskurvan = lutningen på budgetrestriktionen.
Detta är villkoret för nyttomaximering, dvs optimivillkoret. Vi uppnår samma villkor genom att utgiftsmaximera, skulle se ut så här i en Lagrange (vi maximerar budgetfunktionen med nyttofunktionen som bivillkor):
L = PAA - PBB + λ(A0,3 * B0,7 )


b)

Vi kan nu frigöra A:
7A = PA * 3B / PB 
Och B:
3B = PA * 7A / PB
Vi väljer att lösa ut B:
B = 7A * PA / 3PB 

Den okompenserade efterfrågan är en funktion av priser och inkomst:
A = D(PA, PB, Y)
Den kompenserade efterfrågan är en funktion av priser och en viss nyttonivå (û):
A = H(PA, PB, û)

För att ta reda på den okompenserade efterfrågan så måste vi substituera in A eller B i budgetfunktionen:
Y = PAA + PB
Vi flyttar över termerna på samma sida:
Y - PAA - PBB = 0
Väljer att substituerar in B:
Y - PAA - (7A * PA / 3PB ) = 0
Vi kan stryka PB och lösa ut Y:
Y = PAA + 7/3 * PAA
Y = 10/3 * PA * A
Vi kan nu lösa ut A:
A = Y * 3 / (10PA )

Det finns en symmetriregel som gör att vi kan vända på ekvationen för B:
B = Y * 7 / (10PB )

c)
Utgiftsfunktionen svarar på:
Vad är den minsta kostnaden för att uppnå en specifik nyttonivå (û)?
Utgiftsfunktionen = E(PA, PB, û)

Vi kan utgiftsminimera, men vi vet att vi får samma svar som i b).

För att kunna ta reda på den minsta kostnaden för en viss nyttonivå måste vi använda den kompenserade efterfrågan.

Vi tar reda på den kompenserade efterfrågan genom att substituera in A eller B i nyttofunktionen u = A0,3 * B0,7 
Vi vet att:
B = 7A * PA / 3PB 
Så vi väljer att substituera in B för att få ut den specifika nyttonivån (û):
û = A0,3 * B0,7 
û = A0,3 * (7A * PA / 3PB )0,7 
û = A0,3 * (7 / 3 * PA / PB )0,7 
û = A (7/3 * PA/PB )0,7 
Kan lösa ut A:
A = û (3/7 * PB/PA )0,7 
Detta ger oss den kompenserade efterfrågan för A, dvs efterfrågan för A om vi vill uppnå nyttonivån û.

Vi kan även räkna ut den kompenserade efterfrågan för B vilket ger oss svaret:
B = û (7/3 * PA/PB )0,3 

Utgifterna (E) = PAA + PBB
Vi substituerar in A och B:
E = P* û(3/7 * PB/PA )0,7 + P* û(7/3 * PA/PB )0,3 
Kan snygga till ekvationen:
E = û[(PA1-0,7 * 30,7 * PB0,7 ) / 70,7 + (PB1-0,3 * 70,3 * PA0,3 ) / 30,3)]
E = û * PA0,3 * PB0,7 (30,7 / 70,7 + 70,3 / 30,3 )
Fler steg...
E = û * PA0,3 * PB0,7 * (10 / 70,7 * 30,3 )


Räknestuga 2 

  • Marknadsefterfrågan, består av sammanslagning av flera individers efterfrågan
    • Individs efterfrågan. Var kommer de ifrån?
      • Nyttofunktionen
        • Okompenserade efterfrågan
          • Elasticiteten
        • Kompenserade efterfrågan
          • Utgiftsfunktionen (E)
            • Equivialent variation (EV), compensating variation (CV)

Uppgift 1

Efterfrågan:
Qd = 1000 - 5q + 10px - pz + 0.1Y
p = 80
px = 50
pz = 150
Y = 20 000

a)
Vad är efterfrågans priselasticitet (ε)?
Vi räknar ut Qd:
Qd = 2800
Vi räknar ut elasticiteten:
ε = ∂Qd/∂p * p/Qd
ε = -5 * 80/2800
ε = 0.14


b)
Vad är efterfrågans korspriselasticitet i förhållande till varan x?
ε = ∂Qd/∂px * px/Qd
ε = 10 * 50/2800
ε = 0.179

c)
Vad är efterfrågans korspriselasticitet i förhållande till varan z?
ε = ∂Qd/∂pz * pz/Qd
ε = -2 * 150/2800
ε = -0.107

d)
Vad är inkomstelasticiteten? Dvs, vad händer om individens inkomst ökar?
ε = ∂Qd/∂Y * Y/Qd
ε = 0.1 * 20000/2800
ε = 0.714

Praktiskt exempel: Säg att huvudvaran är en bläckstråleskrivare. Vi ser att vara x har en positiv elasticitet och därför t.ex. är en annan sorts skrivare (substitut), medan z har en negativ elasticitet och skulle kunna vara papper (komplementvara).


Uppgift 2.28 (boken)

Utbud: ln Q = 0.2 + 0.55 * ln P
Efterfrågan: ln Q = 2.6 - 0.2 ln P + 0.15 ln Pt
Utbud och efterfrågan av processade tomater. Efterfrågan består av producenterna av tomatpuré (Pt)

Vi utgår ifrån att Pt = 110

Fråga 1: Vad är efterfrågan som en funktion av P? Qd(P)?

Svar 1:
ln Q = 2.6 - 0.2 ln P + 0.15 ln Pt
För att omvandla efterfrågan till efterfrågan som en funktion av P ersätter vi Pt med 110:
ln Q = 2.6 - 0.2 ln P + 0.15 ln 110
ln Q = 3.31 - 0.2 ln P

Fråga 2: Pris och kvantitet i jämvikt?

Svar 2:
Utbud = Efterfrågan
0.2 + 0.55 * ln P = 3.31 - 0.2 ln P
Vi vill lösa ut P. Börjar med ln P
0.75 ln P = 3.11
ln P = 3.11/0.75
ln P = 4.14
För att få bort ln höjer vi upp leden i e:
e(ln P) = e4.14 
P = 62.81

För att ta reda på kvantiteten stoppar vi in P i en av funktionerna, t.ex. utbudet:
ln Q = 0.2 + 0.55 * ln P
ln Q = 0.2 + 0.55 * 4.14
ln Q = 2.48
e(ln Q) = e2.48 
Q = 11.91

Jämvikt vid:
P = 62.81 och Q = 11.91

Fråga 3: Rita upp

Svar 3:
Eftersom vi har ln Q i både efterfrågan och utbud så kommer vi få två u-formade kurvor.

Uppgift 3.20 (boken):

Mark kan välja mellan kakor (k) och böcker (b).
Marginalnyttan av kakor:
∂U/∂k = 5
Marginalnyttan av böcker:
∂U/∂b = 10

Lutningen på indifferenskurvan får vi genom att dela de två marginalnyttorna på varandra och få fram MRS:
MRS = -∂U/∂k / ∂U/∂b
MRS = -10/5
MRS = -2

Pris på kakor:
Pk = 2
Pris på böcker:
Pb = 10

Lutningen på budgetlinjen får vi genom att dela de två priserna med varandra och få fram MRT:
MRT = -Pb/Pk (inte -Pk/Pb??)
MRT = -10/2
MRT = -5

Maximerar Mark sin nytta?
Villkor för nyttomaximering: MRS = MRT
I det här fallet har vi MRS = MRT som -2 = -5, vilket inte stämmer, så Mark nyttomaximerar inte.

Uppgift 3.27 (boken)

Anns nytta:
u(q1, q2) = q1 * q2 / (q1 + q2)
P1 = Priset på q1
P2 = Priset på q2
Y = Inkomst

Ta reda på Anns optimala q. För detta behöver vi den okompenserade efterfrågan, eftersom den räknar ut kvantiteten givet priser, givet inkomst.

Använder Lagrange:
L = q1 * q2 / (q1 + q2) + λ(Y - P1q1 - P2q2)

Vi deriverar med avseende på q1:
∂L/∂q1 = q1 * q2 / (q1 + q2) + λ(Y - P1q1 - P2q2)
Kvotregeln(?):
∂u/∂q1 = (q2(q1+q2) - q1q2) / (q1+q2)2
∂u/∂q1 = q22 / (q1 + q2)2
∂L/∂q1 = q22 / (q1 + q2)2 - λP1 = 0

Vi deriverar med avseende på q2:
∂L/∂q2 = q12 / (q1 + q2)2 - λP2 = 0

Vi deriverar med avseende på lambda:
∂L/∂λ = Y - P1q1 + P2q2 = 0

Skriver om:
q22 / (q1 + q2)2 = λP1 
q12 / (q1 + q2)2 = λP2 

Delar dem med varandra:
(q22 / (q1 + q2)2 ) / (q12 / (q1 + q2)2 ) = λP1 / λP2 
Kan förenklas:
q22 / q12 = P1 / P2 

Vi vill lösa ut q1 eller q2, väljer q2:
q22 = P1 / P2 * q12
Roten ur (sqrt) i alla leden:
q2 = sqrt(P1/P2) q1

Kan nu stoppa in detta i budgetrestriktionen:
Y - P1q1 + P2q2 = 0
Y - P1q1 + P2 (sqrt(P1/P2) q1) = 0
Kan skrivas om som:
Y - P1q1 + P2 * P10.5 * P2-0.5 * q1 = 0
Lägger samman P2:
Y - P1q1 + P10.5 * P20.5 * q1 = 0
Sätt till 0:
Y - P1q1 + P10.5 * P20.5 * q1 = 0
Bryter ut q1
Y - q1 (P1 + P10.5 * P20.5 ) = 0
q1 = Y/(P1 + P10.5 * P20.5 )

I just detta fall är q1 och q2 symmetriska:
q2 = Y/(P2 + P10.5 * P20.5 )
p.ga symmetri
Förutsätter att det är symmetri. Kan räknas ut genom att stoppa in den okompenserade efterfrågan för q1 i q2 = sqrt(P1/P2) q1.

Inlämningsuppgift

Antingen har man en begränsning av hur mycket pengar man har eller att man vill uppnå en viss nytta så billigt och bra som möjligt.

a)
Vi väljer att utgiftsminimera:
L = P1q1 + P2q2 + λ(û - ln q1 - q2)

Vi deriverar med avseende på q1:
∂L/∂q1 = p1 - λ * 1/q1 = 0

Vi deriverar med avseende på q2:
∂L/∂q2 = p2 - λ = 0

Vi deriverar med avseende på lambda:
∂L/∂λ = û - ln q1 - q2 = 0

Skriver om och delar med:
P1 / P2 = (λ/q1) / λ
P1 / P2 = 1/q1
q1 = P2/P1
I just detta fall har vi inget q2, dvs vi får den kompenserade efterfrågan för q1 direkt

Vi stoppar in q1 i lambda för att få ut q2s kompenserade efterfråga:
û - ln q1 - q2 = 0
û - ln (P2/P1) - q2 = 0
q2 = û - ln (P2/P1)

b) Graf
För att ta reda på indifferensfunktionen att rita upp så skriver vi om nyttofunktionen och löser ut q2:
u = ln q1 + q2
q2 = û - ln q1

Vi vill veta q2 för både:
û = 2
och
û = 3
så sätter in detta i nyttofunktionen och skriver ut värdena i tabell.

För att rita upp i diagram behöver vi en tabell:
 q1 q2 (nytta 2) q2 (nytta 3)
 0 - -
 5 0.4 1.4
 10 -03 0.7
 15 -0.71 0.29
 20 -1 0

Rita upp

c)
û = 2
P1 = 10
P2 = 20
Vad är q2?

Vi stoppar in i den kompenserade efterfrågan:
q2 = û - ln (P2/P1)
q2 = 2 - ln (20/10)
q2 = ca 1,31

Grafisk lösning:
För att räkna ut detta bildligt så kan vi rita ut en budgetlinje någonstans (utifrån lutningen på MRT), lägg linjalen i denna lutning och kolla vid vilken punkt den tangerar indifferenskurvan.
MRS = -Uq1/Uq2
MRT = -P1/P2
MRT = -10/20 = -0.5
Kan även rita ut genom att låtsas att vi har en budget på t.ex. 100 kr, sätter ut en punkt när vi endast konsumerar q1 och en punkt när vi endast konsumerar q2, och drar en linje emellan.

d)
û = 2
P1 = 10
P2 = 160
Vad är q2?

Vi stoppar in i den kompenserade efterfrågan:
q2 = û - ln (P2/P1)
q2 = 2 - ln (160/10)
q2 = ca -0.77

Grafisk lösning:
Drar återigen en budgetlinje utifrån förhållandet P1 och P2 och kollar vart den tangerar indifferenskurvan. Detta kommer att ske under 0.

Problemet med svaret är att man inte kan konsumera -0.77. Vi måste istället kolla på punkten där q2 = 0, vilket kallas för hörnlösning, och detta blir också svaret. Det är även vid denna punkten vid finner q1 (q1 = 8.39).


Uppgift 5.32 (boken) - EV och CV

U(q1, q2) = min (q1, q2)
Perfekta komplement, vilket innebär att man måste ha lika många av varorna, annars får man ingen nytta alls. T.ex. en vänster och en höger sko.

Han börjar i situation (0):
Y = 2000
P1 = P2 = 1

Situationen förändras sen till (1):
Y = 2000
P1 = 1
P2 = 2
Vi ser att Jim fått det sämre (en dyrare vara), men hur mycket sämre?

Svar:
Finns olika mått.
Compensated variation (CV) och Equivialent variation (EV)
Dessa utgår ifrån utgiftsfunktionen, s.k. expenditure function (E):
E(p, û)
Svarar på frågan: Vad kostar det att uppnå en viss nytta (û)?

EV = E(Prisnivå0, U1) - E(Prisnivå1, U1)
Skillnaden mellan hur mycket det hade kostat för Jim att uppnå den nya nyttan med de gamla priserna jämfört med de nya priserna. Detta gör att vi slipper jämföra nyttor (eftersom detta är svårt i praktiken).

I den gamla situationen (0) kommer Jim köpa precis lika mycket av båda varorna, dvs:q1 = 1000 och q2 = 1000.
E = 1 * 1000 + 1 * 1000 = 2000
U = minimum av (1000, 1000)
U = 1000

I den nya situationen (1) så är varorna dyra, så han kommer köpa varorna parvis för 3 kr. Han kan då köpa 2000 / 3 par, ca 667 av både q1 och q2, dvs q1 = 667 och q2 = 667
E = 1 * 667 + 2 * 667 = 2000
U = minimum av (667, 667)
U = 667

Sätter in i EV:
EV = E(Prisnivå0, U1) - E(Prisnivå1, U1)
Om vi börjar med att räkna ut utgifterna för att uppnå den nya nyttan med de gamla priserna. Han skulle i så fall konsumera 667 av varje vara för 1 kr styck:
1* 667 + 1 * 667 = 1333

Utgifterna för den nya nyttan med de nya priserna blir helt enkelt:
1 * 667 + 2 * 667 = 2000

Så:
EV = 1333 - 2000
E = -667

Jim förlorar 667 på den prishöjningen enligt EV, och måste kompenseras med detta belopp för att inte förlora någon nytta.
EV svarar på frågan: Hur mycket förlorar Jim på prishöjningen. Istället för att kompensera honom i efterhand, hur mycket måste vi ta från Jim från urpsrungssituationen för att han ska förlora samma nytta i slutändan?


CV å andra sidan:
CV = E(Prisnivå0, U0) - E(Prisnivå1, U0)
Svarar på frågan: Hur mycket pengar ska vi ge till Jim så att han är lika glad i slutet som i början? (därav namnet compensated variation)

CV = E(Prisnivå0, U0) - E(Prisnivå1, U0)
Ursprunglig nyttonivå (U0) var 1000.

I första fallet, E(Prisnivå0, U0), så behöver han köpa 1000 av varje vara, vilket ger oss:
1 * 1000 + 1 * 1000 = 2000
Men i andra fallet, E(Prisnivå1, U0), hur mycket kostar det att uppnå 1000 i nytta med de nya priserna?
1 * 1000 + 2 * 1000 = 3000
CV = 2000 - 3000 = -1000

Svar: Jim måste kompenseras med 1000 kr efter prishöjningen för att uppnå sin ursprungliga nyttonivå.

Uppgift 8

Arbetsutbud:
H(w) = 0.15w - 0.0003w2 - 5

a) Beräkna reservationslönen

Svar a)
Reservationslönen besvarar frågan: Vad är den minsta lönen individen kan tänka sig jobba för?
Detta finner vi när arbetsutbudet = 0:
H(w) = 0
0.15w - 0.0003w2 - 5 = 0
Vi löser ut w
1500w - 3w2 - 50000 = 0
w2 - 500w - 50000/3 = 0
w = 250 + sqrt(2502 - 50000/3) = 0

Vi får två nollpunkter (w = 35 och w = 464). Hur kommer det sig?
Vid låga löner så vill vi jobba mer, men vid en viss lönegräns så kommer vi istället välja att jobba mindre eftersom vi får så mycket betalt (inkomsteffekten?). Extremt förenklat exempel, men därför vi får två nollpunkter (arbetsutbudet som funktion av lönen är en andragradsekvation).

b) Antag att individens timlön är 100 kr. Vad händer med arbetsutbudet om lönen stiger till 120 kr

Svar b)
w förändras från 100 -> 120
Vi stoppar in värdena i ursprungsekvationen, och får ut:
H(100) = 7
H(120) = 8.68

När lönen steg från 100 till 120 så ökade arbetsutbudet.

c) Antag att individens timlön är 300 kr. Vad händer med arbetsutbudet omlönen stiger till 320 kr

Svar c)
H(300) = 13
H(320) = 12.28

När lönen steg från 300 till 320 så minskade arbetsutbudet

d) Hur kommer detta sig?

Svar d)
I b) så dominerar substitutionseffekten, så när lönen stiger så stiger arbetsutbudet. Individen tycker det är värt att offra mer fritid för att arbeta mer.
I c) å andra sidan så dominerar inkomsteffekten, så när lönen stiger så sjunker arbetsutbudet. Individen blir rikare, och vill konsumera mer fritid.

Substitutionseffekten:
Prisförändring på en vara påverkar efterfrågan på en annan.
I det här fallet förändring av efterfrågan av fritid som beror på relativ prisförändring av alla andra varor (eftersom inkomsten ökar).
En individ äger 24h fritid. Denna fritid kan man byta mot varor/konsumtion (genom att man jobbar och får pengar som man sen kan köpa varor för).
I det här fallet sker en löneökning. Det är detsamma som att alla konsumtionsvaror blir billigare. Detta är detsamma som att fritid blir dyrare i förhållande till andra varor.
Tendensen som beror på substitutionseffekten innebär att efterfrågan på fritid blir lägre.

Inkomsteffekten:
Förändring av efterfrågan av fritid som beror på att realinkomsten ökat.
I detta fall sker en löneökning. Andra varor förutom fritid blir billigare, men vi når en gräns när vi inte längre vill ha fler av konsumtionsvaror för pengarna utan mer fritid. Vi går därför ner i arbetstid när lönen ökar, för att "köpa" oss mer fritid.


Wikipedia:
Substitutionseffekten beskriver hur mycket jag förändrar min konsumtion av varan, till följd av att jag byter ut konsumtion av en vara mot konsumtion av en annan vara
Inkomsteffekten beskriver hur mycket konsumtionen ändras på grund av att prisförändringen gjort att din reala inkomst ökat eller minskat

Kan rita upp i diagram.


Comments