Övningsuppgifter


Evighetsobligationer

Fråga 5.
Evighetsobligation Pt = $15 625
Årligt kupongutbetalning C = $1250

Svar:
ic = C/Pt = 1250 / 15625 = 0.08

Fråga 7.
Skatt på fastigheter 2.66% av priset vid inköp per år. Fastighetens pris $100 000
i = 9%
Hur stort är det totala skattebeloppet?

Svar:
Årligt skattebelopp = 0.0266 * $100 000 = $2660 årligen
PV = 2660 / 0.09 = $29 555.56

Svar: $29 555.56 är nuvärdet av skattebeloppet på fastigheten, dvs den totala skattebördan som invånarna 

Fråga 8.
Sparbelopp $1000
Realränt ir = 2%
Förväntad inflation πe = 6%

a) Nominell ränta i?
b) Hur stort är beloppet som sparats efter 1 år?
c) Räcker de sparade pengarna för att köpa en stereo som kostar $1050 i utgångsläget?

Svar a)
Realränta kunde vi räkna som där i är nominell ränta:
ir = i - πe 
Kan skrivas om:
i = ir + πe 
i = 2% + 6%
i = 8%

Svar b)
Sparbeloppet efter ett år. Vi räknar ut hur sparbeloppet förändras efter ett år när den årliga nominella räntan är 8%:
$1000 (1 + 0.08) = $1080

Svar c)
Eftersom priset vanligtvis följer inflationen så är priset på stereon efter ett år:
$1050 (1 + πe )
dvs:
$1050 (1 + 0.06) = $1113

Pengarna räcker inte


Kupongobligation

Fråga 9)
Kupongränta 7%
F = $1000
C = 70% av $1000 = $70
Pt = $871.65
Pt+1 = $880.10

R (De totala intäkterna vi får för att ha hållit obligationen i ett år.)
R = (C + Pt + 1 - Pt) / Pt
R = (70 + 880.10 - 871.65) / 871.65
R = 0.09
R = 9%


Fråga 10.
Kupongränta 8%
F = $1000
C = $80
n = 5 år
Pt = $980.30

Om man önskar en avkastning på 9%, vad måste Pt+1 vara?

Svar
Vi vet:
R = (C + Pt+1 - Pt) / Pt
Vi vill ha variabeln Pt+1 ensamt på vänstersidan:
Pt * R = C + Pt+1 - Pt
Pt+1 = Pt * R - C + Pt
Vi sätter in avkastningen 9%, dvs R = 0.09
Pt+1 = 980.30 * 0.09 - 80 + 980.30
Pt+1 = $988.527


Fråga 11.
Kupongobligation
F = $1000
Kupongränta 6%
C = $60
n = 3 år
i = 7%

Ekvation för att räkna ut duration:

PV1 = C / (1 + i)
PV2 = C / (1 + i)2 
PV3 = C / (1 + i)3 + F / (1 + i)3 




 t PVt  t * PVt 
 1 56.075 56.075
 2 52.406 104.813
 3 48.978 + 816.298 146.934 + 2448.893
 Summa 973.757 2756.716

Vi kan sedan sätta in detta i durations formeln:
 = 2756.716 / 973.757 = 2.83 år

Fråga 12:
i = 6.75%
Procentuell förändring i pris?

Vi utgår ifrån formeln för att räkna ut procentuell förändring i pris:
Procentuell förändring i pris (% delta Pt) = -2.83 * (0.0675 - 0.07) / (1 + 0.07)
Svaret blir 0.006612

Pt ges av i = 7%
P*t ges av i = 6.75%


Vi kan använda den vanliga formeln för prisberäkning:

P*t = 980.227

Kan sedan använda denna formel:
(P*t - Pt) / Pt
(P*t - Pt) / Pt = (980.227 - 973.757) / 973.757
(P*t - Pt) / Pt = 0.006645


Fråga 13:
Fond med tillgångar på $100 000 000 DUR100 = 10 år
Fonden tillförs tillgångar på $40 000 000. Vad är DUR40?
Fondens totala tillgångar efter de extra $40 000 000 är $140 000 000 har en duration DUR = 12.5 år

Svar
DUR = $100 milj / $140 milj * DUR100 + $40 milj / $140 milj * DUR40 

Det enda vi saknar är DUR40, de andra värdena kan vi sätta in i formeln:
12.5 = $100 milj / $140 milj * 10 + $40 milj / $140 milj * DUR40 

Vi flyttar runt i formeln:
12.5 - $100 milj / $140 milj * 10 = $40 milj / $140 milj * DUR40 

Vi multiplicerar med $140 milj och delar med $40 milj på båda sidorna:
$140 milj / $40 milj (12.5 - $100 milj / $140 milj * 10) = DUR40 

Vi kan sedan räkna ut DUR40 :
DUR40 = 18.75 år


Fråga 14.
Lån 1 på $30 000 000 betalas om 3 år med $37 800 000
Lån 2 på $40 000 000 betalas årlig räntebetalning $3 600 000 i 3 år och beloppet $40 000 000 vid löptidens slut om 3 år.
i = 8%

a) Vad är durationen för bankens lån?
b) Utgå ifrån att räntan (i) ökar från 8% till 8.5%. Hur förändras värdet på låneportföljen?

Svar a)
Lån av typ 1 har en duration DUR1 = 3 år (nollkupongare)

Durationen = Dumman av de viktade nuvärdena / Summan av nuvärdena
Eftersom vi inte 

Lån av typ 2 som kupongobligation:
F = 40 000 000
C = 3 600 000
n = 3
i = 8%

DUR2 = 2.76 år

DUR = 30 milj / 70 milj * 3 år + 40 milj / 70 milj * 2.76 år = 2.86 år

Svar b)
Vi utgår ifrån formeln för att räkna ut procentuell förändring i pris:
Procentuell förändring i pris (% delta Pt) = -2.86 * (0.085 - 0.08) / (1 + 0.08)
Svaret blir -0.0132, dvs -1.32%

Värdet på låneportföljen:
(1-0.0132) * $70 milj = $69.07 milj




Sid 96
Nollkupongare
F = $100
n = 4 år
pe

P1 = 1000 / (1+0.066)^4 = 774.41
P2 = 1000 / (1+0.0675)^4 = 770.07

 piPi 
 0.16.6% 774.41 
 0.26.75% 770.07 
 0.47% 762.90
 0.27.20% 757.22 
 0.17.45%750.20 

pe = p1 * P1 + p2 * P2 + ... + p5 * P5
pe = 0.1 * 774.41 + 0.2 * 770.07 + ... + 0.1 * 750.20 = $763.08

= 6.79

Ju högre standardavvikelsen är, desto större spridning


Fråga 2a) - Kredit risk
Obligation som ges ut av ett företag med låg kreditvärdighet. Vad är risken för att företaget inte kan ge tillbaks pengarna?

F = $1000
Kupongränta 12%
C = $120
n = 2 år
i = 10%

20% risk att företaget går i konkurs år 1:
25% risk att företaget går i konkurs år 2: 

Vi vet att det är 20% risk, och därmed 80% chans att få tillbaks pengarna:
C1e = 0.8 * $120 = $96
Vi har en sannolikhet på 0.8, 80%, att $120 kommer betalas ut.

Samma med år 2, men vi lägger samman de båda årens sannolikhet att pengarna betalas ut
C1e = 0.8 * 0.75 * $120 = $72

Nominella värdet tar också hänsyn till båda åren men utgår ifrån F
Fe = 0.8 * 0.75 * $1000 = $600

P = C1e / (1+0.10) + C2e / (1+0.10)2 + Fe / (1+0.10)L 
P = 96 / (1+0.10) + 72 / (1+0.10)2 + 600 / (1+0.10)2 
P = $642.64


Fråga ?

First National Bank
Assets - $100 mil (total weighted duration: 2.70)

Duration (years) första värdet inom parantes
Weighted duration (years) andra värdet inom parentes
  • Reserves and cash items - €5 (0.0, 0.00)
  • Securities
    • Less than 1 year - €5 (0.4, 0.02)
    • 1-2 years - €5 (1.6, 0.08)
    • Greater than 2 years - €10 (7.0, 0.70)
  • Residental mortages
    • Variable-rate - $10 (0.5, 0.05)
    • Fixed-rate (30-year) - $10 (6.0, 0.60)
  • Commercial loans
    • Less than 1 year - $15 (0.7, 0.11)
    • 1-2 years - $10 (1.4, 0.14)
    • Greater than 2 years - $25 (4.0, 1.00)
  • Physical capital - $5 (0.0, 0.00)
Liabilities - $100 mil (total weighted duration: 1.03)
  • Checkable deposits - $15 (2.0, 0.32)
  • Money market deposit accounts - $5 (0.1, 0.01)
  • Savings deposits - $15 (1.0, 0.16)
  • CDs
    • Variable-rate - $10 (0.5, 0.05)
    • Less than 1 year - $15 (0.2, 0.03)
    • 1-2 years - $5 (1.2, 0.06)
    • Greater than 2 years - $5 (2.7, 0.14)
  • Fed funds - $5 (0.0, 0.00)
  • Borrowings
    • Less than 1 year - $10 (0.3, 0.03)
    • 1-2 years - $5 (1.3, 0.07)
    • Greater than 2 years - $5 (3.1, 0.16)
  • Bank capital - $5


Inkomstgap:
Man tittar på bankens möjlighet att tjäna pengar kortsiktigt, främst beroende på ränteförändringar

RSA (Rate Sensitive Assets). Enligt boken $32 milj
RSL (Rate Sensitive Liabilities). Enligt boken $49.5 milj

Banken ersätter $10 mil av icke räntekänsliga tillgångar med motsvarande belopp av räntekänsliga tillgångar:
RSA är nu 10 mil större, dvs:
RSA = $42 mil

i = 10% i utgångsläget och minskade till 7% (kan skrivas om till 0.07 - 0.10)

Vi använder formlerna:
delta I = GAP * delta i
GAP = RSA - RSL

GAP = $42 mil - $49.5 mil = -$7.5 mil
delta I = $7.5 mil * (0.07 - 0.10)
delta I = $225 000

När man räknar på inkomstgap och durationsgap så ska tillgångar och skulder ingå, medan det egna kapitalet inte räknas in (skillnader mellan tillgångar och skulder).

Fråga 20
Om räntan ökar från 10% till 20%, vad händer med det egna kapitalet?

Vi använder ekvationen för Net Worth:


Vi lägger in det totala weighted duration för tillgångar och skulder, och sätter in det totala värdet på tillgångarna och skulderna (utan det egna kapitalet, $5 mil):
DURgap = 2.70 - $95 milj / $100 milj * 1.03
DURgap = 1.72 år

Kan sedan sätta in i första ekvationen:
delta NW / A = (0.20 - 0.10) / (1 + 0.10)
delta NW / A = -0.156
delta NW = -0.156 * $100 mil
delta NW = -$15.6 milj

Svar: Resultatet skulle bli ca -$10 milj eget kapital (eget kapital är $milj vilket inte täcker förlusten), vilket skulle leda till konkurs


Fråga 22:
DURL = 2 år
L = $95 milj
A = $100 milj

För att nå DURgap = 0 så bör vi ändra DURA 
DURgap = DURA - L/A * DURL 
0 = DURA - $95 milj / $100 milj * 2
DURA = 1.9 år

Svar: Om DURA blir 1.9 år så blir DURgap 0, och ränteförändringar påverkar inte längre banken. Men inte lätt i praktiken, för då måste man påverka sina kunder i saker som de redan kontrakterats för. Istället utnyttjar bankerna ränte-swappar och liknande, byter betalströmmar med andra banker för att balansera sin balansräkning. Alternativt kan de utnyttja terminsmarknaden, genom att terminsäkra ("hedga") sina tillgångar. Sälja motsvarande instrument i termin som man har på tillgångssidan, vilket kan kompensera förlusten.


Sida 673
Fråga 5:
Fond räknar med en intäkt på $100 milj om ett år. Fonden vill investera dessa pengar i långt löpande obligationer till dagens ränta 8%. Hur kan terminsmarknaden utnyttjas för detta ändamål?

Svar
Terminsmarknadnen skiljer sig från avista- eller spot(?)marknaden.
Man skickar till en gemensam handelsplats (marknad) där byteshandlar senare utförs, snarare än att köpare och säljare skickar direkt till varandra(?)

Fonden köper obligationer på termin till den idag rådande räntan med lösendag om ett år.


Fråga 6
Utgå ifrån fråga 5, men säg att fonden istället vill utnyttja optionsmarknaden. Fördelar/nackdelar?

Svar:
Terminen är ett derivat, att man handlar obligationer över tid. Optionen kan ses som en försäkring.

Fonden köper en köpoption på motsvarande termin som i uppgiften 5 som säger att fonden inte behöver genomföra köpet eftersom vi har en "option" där rätten att avstå ingår.

Nackdel: Fonden måste då betala en premie för köpoptionen.
Fördel: Fonden behöver inte genomföra köpet av terminerna (man försäkrar sig mot negativa ränteförändringar)


Fråga 7
Köp av säljoption på $100 000 Treasury Bond futures-kontrakt med ett lösenpris 95 och pris på lösendagen 120.
Är kontraktet "in the money", "out of the money" eller "at the money"?

Premien = $4000
Räkna ut vinst/förlust

Svar:
"$100 000 Treasury Bond" är namnet på en viss typ av obligationer. "futures" indikerar att det är terminer.
De måste säljas för 95, vilket innebär $95 000. Men marknadspriset vid säljdagen är 120, dvs $120 000.
Eftersom vi har en premie så handlar det om en option, och rätten finns att avstå.
Bör vi genomföra transaktionen? Eftersom kontraktet säger att vi måste sälja för $95 000 trots att marknadsvärdet är $120 000 så skulle vi göra en stor förlust av att sälja enligt terminskontraktet. Eftersom det rör sig om en option så väljer vi att inte genomföra köpet. Förlust = premien = $4000.
Man äger inte det man ska sälja, utan bara terminskontraktet.

För säljoptioner gäller att:
"At the money" (likgiltigt inför köpet): Avtalat lösenpris = Marknadspriset på lösendagen
"In the money" (tjänar på köpet): Avtalat lösenpris > Marknadspriset på lösendagen
"Out of the money" (förlorar på köpet): Avtalat lösenpris < Marknadspriset på lösendagen

I det här fallet befinner vi oss i "Out of the money" eftersom det avtalade lösenpriset är lägre än marknadspriset.


Fråga 8
Köp av en köpoption $100 000 TB futures-kontrakt med lösenpris 110 och premien $1500. Priset på lösendagen 111.

Svar:
Eftersom det rör sig om köpoption så bör vi till skillnad från fråga 7 välja att genomföra köpet. Vi köper något för $110 000 som är värt $111 000, vilket vi tjänar på.

Vinsten är $111 000 - $110 000 - $1500 = -$500 (förlust)

För köpoptioner gäller att:
"At the money" (likgiltigt inför köpet): Avtalat lösenpris = Marknadspriset på lösendagen
"In the money" (tjänar på köpet): Avtalat lösenpris < Marknadspriset på lösendagen
"Out of the money" (förlorar på köpet): Avtalat lösenpris > Marknadspriset på lösendagen

I detta fallet gäller alltså "In the money", eftersom man gör en vinst av själva köpet (om vi bortser från premien).


Fråga 9:
Hög volatilitet och lång löptid kräver högre premie.

Volatilitet: Prissvängningar. En hög volatilitet innebär att vi har kraftiga svängningar av priset över tiden.

Alltså, vid större prissvängningar så kräver man en högre premie, vilket är logiskt eftersom priset är mer instabilt och risken större.

Vid en säljoption så vill köparen av optionen genomföra transaktionen om priset är högt men avstå om priset är lågt. Vid stora svängningar blir det alltså chans för mycket höga vinster för köparen och därmed risk för stora förluster för utställaren av optionen, vilket medför att den senare kräver en hög premie i kompensation.

Motsvarande men omvänd prisutveckling för köpoption:
Vid en köpoption så vill köparen av optionen genomföra transaktionen om priset är lågt men avstå om priset är högt. Vid stora svängningar blir det alltså chans för mycket höga vinster för utställaren och därmed risk för stora förluster för köparen av optionen, vilket medför att man sätter en låg(?) permie.


Sida 672:
Fråga 1
Varför medför ett lågt lösenpris att en köpoption har en hög premie och en säljoption har en låg premie?

För en köpoption gäller att vinsten stiger med stigande pris och om det avtalade priset (lösenpriset) är lågt så ökar sannolikheten för att priset ska stiga över lösenpriset. Därmed kräver utställaren av optionen en hög primie i kompensation.

För en säljoption gäller att vinsten stiger med fallande pris och om det avtalade priset är lågt så är sannolikheten för att priset ska sjunka lägre, och utställaren kan sätta en lägre premie.




.

Comments